CF1446F - Line Distance

给定$n$个点,求 两两连线 到原点距离 的第$k$小值.

$n\le 1e5,7.5s$

二分答案$r$,数有多少条线段与圆有交.

重要转化:

对于俩个在圆外的点,他们间的直线和圆有交当且仅当 他们和切点的连线无交.

这三种情况覆盖了所有的$AB$之间的相对位置关系,可以发现仅有第三种可以和圆无交.

自此,我们可以把$A_1,A_2$的位置表示为相对于O的角度,这样用树状数组求解即可.

int n;
db dis[N], ang[N];
ll k;

const db PI=acos(-1.0),eps=1e-8;

bool check(db r) {//与半径为r的圆相交的线段数是否>=k
	ll sum=0;
	static db L[N],R[N],val[N]; int tot=0,num=0;
	FOR(i,n) if(dis[i] > r) {
		db a=acos(r/dis[i]);
		L[++tot]=ang[i]-a; R[tot]=ang[i]+a;
		if(L[tot] < -PI) L[tot] += 2*PI;
		if(R[tot] >  PI) R[tot] -= 2*PI;
		if(L[tot] > R[tot]) swap(L[tot],R[tot]);
		val[++num]=L[tot]; val[++num]=R[tot];
	}
	if(1LL*(n-tot)*(n-tot-1)/2 >= k) return 1;
	if(tot) {
		sort(val+1,val+num+1); num=unique(val+1,val+num+1)-(val+1);
		static pii id[N]; 
		FOR(i,tot) {
			id[i].fi=lower_bound(val+1,val+num+1,L[i])-val;
			id[i].se=lower_bound(val+1,val+num+1,R[i])-val;
		}
		sort(id+1,id+tot+1); BIT<int> c(num);
		REP(i,1,tot) {
			sum += c.sum(id[i].se);
			c.add(id[i].fi,1);
			c.add(id[i].se,-1);
		}
	}
	sum=1LL*n*(n-1)/2-sum;
	return sum >= k;
}

int main() {
    qr(n); qr(k);
    FOR(i,n) {
    	int x,y; qr(x); qr(y);
    	dis[i]=sqrt(x*x+y*y);
    	ang[i]=atan2(y,x);
    }
    db l=0,r=sqrt(2e8),mid;
    while(l+eps<r) {
    	mid=(l+r)/2;
    	if(check(mid)) r=mid;
    	else l=mid;
    }
    printf("%.10lf\n",l);
    return 0;
}