zkw线段树小结

最新推荐文章于 2021-10-26 16:52:39 发布

Infinite_Jerry

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分类专栏： # 线段树/平衡树

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本文介绍了如何利用循环式线段树进行高效的单点修改和区间操作，特别是通过标记简化和差分技巧来优化区间求和、区间最小值等问题。讲解了如何预处理、更新和查询区间值，并提到了区间加减的技巧和核心思想，使得复杂标记处理更简洁高效。

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$z k w$ 线段树作为循环式线段树具有较小的常数.(其实树状数组本质上就是线段树…

初始化

下标为 $[1, n]$ ,预处理一个 $2^k>n$ .

然后总空间为 $2^{k+1}$ .( $2^{k+1}<4n$ )

后面令 $k=2^k$ .

那么一个叶子 $x$ 的位置在 $x + k$ .

单点修改

for(x += k; x;x /= 2) ....

直接遍历到根

区间修改

因为 $z k w$ 线段树是自底往上求,所以一般使用标记永久化的 $t r i c k$ .
所以如果维护的标记比较繁杂,还是打普通线段树比较好.

当遇到区间求和和区间修改的时候,我们令 $l + = k - 1, r + = k + 1$ ,即变为开区间.(这个是为了和的上传

当只有区间求和和单点修改的时候,我们可以考虑转化为左开右闭区间.

一个区间加是这样的:

void add(int l,int r,ll x) {
    int L=0,R=0,len=1;
    for(l += k-1, r += k+1;l^r^1;l/=2,r/=2,len*=2) {//l^r^1表示l,r不为兄弟节点
        if(~l & 1) ad[l^1] += x, s[l^1] += len*x, L += len;
        if( r & 1) ad[r^1] += x, s[r^1] += len*x, R += len;
        s[l>>1] += L*x;
        s[r>>1] += R*x; 
    }
    for(L += R;l/=2; s[l] += L*x); 
}

对应的区间求和:

ll sum(int l,int r) {
    ll ans=0; 
    int L=0,R=0,len=1;
    for(l += k-1, r += k+1;l^r^1;l/=2,r/=2,len*=2) {
        if(~l & 1) ans += s[l^1], L += len;
        if( r & 1) ans += s[r^1], R += len;
        ans += ad[l>>1]*L+ad[r>>1]*R;
    }
    for(L+=R;l/=2;ans+=ad[l]*L);
    return ans;
}

区间 $\min,\max$

这个在没有修改的情况下还是很好求的,只要预处理一下就好.

但是如果遇上区间标记呢?(比如区间加

$z k w$ 在 $P P T$ 内有讲到一个核心思想:

标记和值都是相对的数,那么我们何必同时维护标记和值呢?

为了同化,我们直接差分,这样取原值我们直接遍历到根求和即可.

具体地,比方说我们要维护区间 $\min$ :

那么我们令 $d m n [i] = m n [i] - m n [i / 2]$ , $m n [i]$ 表示区间最小值,代码内实际上只保留 $d m n$ .

预处理:

for(int i=1;i<=n;i++) mn[i+k]=a[i];
for(int i=k-1; i;i--) {
    int A=min(mn[i*2],mn[i*2|1]);
    mn[i] += A; mn[i*2] -= A; mn[i*2+1] -= A;
}

对应的区间加应该是这样的:

void upd(int x) {
    int A=min(mn[x*2],mn[x*2|1]);
    mn[x] += A; mn[x*2] -= A; mn[x*2+1] -= A;
}
void add(int l,int r,ll x) {
    for(l += k-1,r += k+1;l^r^1;l/=2,r/=2) {
        if(~l & 1) mn[l^1] += x;
        if( r & 1) mn[r^1] += x;
        upd(l/2); upd(r/2);
    }
    for( ;l/=2;upd(l));
}

求 $\min$ :

int Min(int l,int r) {
    if(l == r) return ask(l);//特判,否则会死循环
    int L=0,R=0;
    for(l += k, r += k; l^r^1;l=l/2,r=r/2) {
        L += mn[l]; R += mn[r];
        if(~l&1) cmin(L,mn[l^1]);
        if( r&1) cmin(R,mn[r^1]);
    }
    int ans=min(L+mn[l],R+mn[r]);
    for( ;l /= 2; ) ans += mn[l];
    return ans;
}