day53 动态规划part14● 1143.最长公共子序列 ● 1035.不相交的线 ● 53. 最大子序和 动态规划

一开始的想法是当text1的第i个元素和text2的第j个元素不等的时候，判断i，j-1和i-1和j，要判断j-1是否被选过，用另外一个01的变量标志（但其实从前往后遍历是已经算过了）。看了题解。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义:

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

确定递推公式:

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int len1=text1.size();
        int len2=text2.size();
        vector<vector<int>> dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(text1[i-1]==text2[j-1])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
};

 线不相交，也就是第一个数组和第二个数组选择的数字是顺序对应的。转化为最大重复子序列。

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len1=nums1.size();
        int len2=nums2.size();
        vector<vector<int>>  dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
};

 关键是dp数组的定义和下标的定义。自己没有啥思路，看了题解。其实只要找到递推关系，初始化就好，不用考虑很细。

动规五部曲如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

1. 确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int len1=nums.size();
        vector<int> dp(len1+1,0);
        dp[0]=nums[0];
        int res=nums[0];
        for(int i=1;i<len1;i++){
            dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
            if(res<dp[i]) res=dp[i];
        }
        return res;
        
    }
};