广义斐波那契数列 / 矩阵快速幂

博客提出广义斐波那契数列问题,其递推公式为 an=pan−1+qan−2(n≥2),给定系数 p、q 及前两项 a1、a2,求 an%m 的值,n≤1013,其它数据 ≤1010,给出用矩阵快速幂求解的方法,提醒开 longlong。

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定义广义斐波那契数列为满足递推公式为 an=pan1+qan2n2an=pan−1+qan−2,n≥2 的数列。
现在给定系数 p,qp,q ,以及该数列的前两项 a1a2a1,a2,问 an%man%m 的值为多少。
n1013n≤1013,其它数据均 1010≤1010

矩阵快速幂裸题,记得开 longlonglonglong

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define R register
#define LL long long

LL n;
int M;

struct matrix
{
    LL c[4][4];
    void init()
    {
        memset(c,0,sizeof c);
        for (R int i=1;i<=2;++i) c[i][i]=1ll;
    }
    friend matrix operator * (const matrix & A,const matrix & B)
    {
        matrix ret;
        for (R int i=1;i<=2;++i)
          for (R int j=1;j<=2;++j)
            {
                ret.c[i][j] = 0;
                for (R int k=1;k<=2;++k)
                ret.c[i][j] = (ret.c[i][j] + A.c[i][k] * B.c[k][j]) % M;
            }
        return ret;
    }
    friend matrix operator ^ (const matrix & A,LL B)
    {
        R matrix ret,bas=A;
        ret.init();
        while(B)
        {
            if(B&1) ret=ret*bas;
            bas = bas*bas;
            B >>= 1;
        } 
        return ret;
    }
}cha,fir;

int main()
{
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %d",&cha.c[1][1],&cha.c[1][2],&fir.c[2][1],&fir.c[1][1],&n,&M);
    fir.c[1][2]=fir.c[2][2]=cha.c[2][2]=0;
    cha.c[2][1]=1;
    if(n == 1) return !printf("%lld\n",fir.c[2][1] % M);
    if(n == 2) return !printf("%lld\n",fir.c[1][1] % M);
    cha = cha^(n-2ll);
    fir = cha*fir;
    printf("%lld\n",fir.c[1][1]);
    return 0;
}
<think>好的,我现在需要帮助用户了解斐波那契数列矩阵快速幂算法的实现和优化。首先,我得回顾一下相关的知识,并参考用户提供的引用内容。用户提到了几个引用,其中提到了矩阵快速幂的基本原理、初始化单位矩阵、以及如何将斐波那契数列转换为矩阵幂的形式。我需要将这些信息整合起来,形成一个清晰的解释。 首先,斐波那契数列的传统递归或迭代方法在计算大数时效率低下,时间复杂度高。而矩阵快速幂可以将时间复杂度降低到O(log n),这是优化的关键。接下来,我需要解释为什么矩阵可以用于斐波那契数列的计算。根据引用[3],斐波那契数列的递推关系可以通过矩阵乘法表示,将线性递推转换为矩阵的幂运算。 然后,矩阵快速幂的实现类似于普通的快速幂算法,但需要处理矩阵的乘法。这里需要注意单位矩阵的初始化,如引用[2]所述,单位矩阵矩阵乘法中的作用类似于标量乘法中的1。因此,在快速幂函数中,ans的初始值应设为单位矩阵。 接下来,我需要详细说明如何将斐波那契数列的递推式转化为矩阵形式。例如,F(n) = F(n-1) + F(n-2)可以表示为: $$ \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2} \end{bmatrix} $$ 通过递归展开,最终转化为矩阵的(n-1)次幂乘以初始向量[F1, F0]。这一步可能需要用户有一定的线性代数基础,但应该用简洁的例子说明,比如n=2的情况,让用户更容易理解。 然后是实现部分,需要给出矩阵乘法和快速幂的具体代码实现。根据引用[2]中的代码示例,可以编写一个矩阵快速幂的函数,并在其中处理矩阵的乘法运算。需要注意代码的效率和正确性,例如避免重复计算和正确处理矩阵乘法的顺序。 优化方面,除了基本的快速幂,还可以考虑循环展开、使用位运算代替除法和取模,或者预处理矩阵的幂次来减少计算量。此外,引用[4]提到单元测试,可以建议用户测试不同数据量下的性能,确保算法正确性和效率。 最后,需要检查是否有遗漏的细节,比如处理n=0或n=1的特殊情况,或者解释为什么矩阵快速幂的时间复杂度是对数级别的。同时,确保回答结构清晰,分步骤解释,并附上相关代码示例,让用户能够逐步理解和实现该算法。</think>### 斐波那契数列矩阵快速幂算法实现与优化 #### 一、算法原理 斐波那契数列的递推公式为: $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (F_0=0, F_1=1)$$ 通过矩阵形式可表示为: $$ \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} $$ 通过计算转移矩阵的$n-1$次幂,可将时间复杂度从$O(n)$优化至$O(\log n)$[^3]。 --- #### 二、代码实现(Python) 1. **定义矩阵乘法**: ```python def matrix_mult(a, b): return [ [a[0][0]*b[0][0] + a[0][1]*b[1][0], a[0][0]*b[0][1] + a[0][1]*b[1][1]], [a[1][0]*b[0][0] + a[1][1]*b[1][0], a[1][0]*b[0][1] + a[1][1]*b[1][1]] ] ``` 2. **矩阵快速幂**: ```python def matrix_pow(mat, n): result = [[1, 0], [0, 1]] # 单位矩阵,等同于引用[2]中的初始化 while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_mult(result, mat) mat = matrix_mult(mat, mat) n = n // 2 return result ``` 3. **计算$F_n$**: ```python def fib(n): if n == 0: return 0 base = [[1, 1], [1, 0]] mat = matrix_pow(base, n-1) return mat[0][0] # F_n = mat[0][0]*F_1 + mat[0][1]*F_0 ``` --- #### 三、关键优化方法 1. **快速幂分治策略**:通过二分法将乘法次数从$n$次减少到$\log n$次[^2]。 2. **位运算优化**:用`n & 1`判断奇偶,`n >>= 1`代替除法(如引用[2]所示)。 3. **空间优化**:无需存储完整矩阵历史,只需维护当前乘积矩阵。 4. **预处理幂次**:对常用幂次(如$2^k$)预先计算并复用。 --- #### 四、复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(\log n)$,由快速幂的二分特性决定。 - **空间复杂度**:$O(1)$,仅需常数级额外空间。 --- #### 五、应用场景 1. 计算超大项(如$n \geq 10^{18}$)的斐波那契2. 动态规划中状态转移可矩阵化的场景 3. 密码学中需要高效模幂运算的算法 ---
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