深度优先搜索算法——八皇后问题

一、DFS问题分类
1.大致分为两类：

1.对图的连通性进行检验。
2.穷举所有答案，找到符合题意的解。
2.深搜经典问题：N皇后问题，全排列问题，子集和问题。

二、深搜经典问题——八皇后
1.对八皇后问题主要就是对角线处的信息如何判断，所以这里就要注意到左下到右上方的对角线i+j(i表示行，j表示列)为定值，而另一条对角线i-j+n(n*n棋盘)为定值。

2.八皇后例题（洛谷P1219)

一个如下的 $6\times 6$ 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 $246135$ 来描述，第 $i$ 个数字表示在第 $i$ 行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 $123456$

列号 $246135$

这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 $3$ 个解。最后一行是解的总个数。

输入格式
一行一个正整数 $n$，表示棋盘是 $n\times n$ 大小的。

输出格式
前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

样例 #1
样例输入 #1
6
样例输出 #1
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4
提示
【数据范围】
对于 $100$ 的数据，$6\le n\le 13$。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

代码实现如下：

#include <iostream>

using namespace std;

int row[100], col[100], dia1[100], dia2[100];
int N, sum; // 棋盘大小

void FindQueen(int num) //当前考虑放第几个皇后
{
	if (num == N + 1)
	{
		++sum;
		if (sum <= 3)
		{
			for (int i = 1; i <= N; ++i)
				cout << row[i] << " ";
			cout << endl;
		}
	}

	for (int i = 1; i <= N; ++i) //从每一列开始看能不能放
	{
		if (!col[i] && !dia1[i + num] && !dia2[i - num + N])
		{
			col[i] = 1;
			dia1[i + num] = 1;
			row[num] = i;
			dia2[i - num + N] = 1;                  //标记
			FindQueen(num + 1);
			col[i] = 0;
			dia1[i + num] = 0;
			row[num] = 0;
			dia2[i - num + N] = 0;                //发现方案不行，清除标记。
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> N;
	FindQueen(1);
	cout << sum << endl;
	return 0;
}