【动态规划】0/1背包（自己给自己讲）

看网上面好多标着标签写着【通俗易懂，超基础讲解】我居然都看不懂。

所以理解了以后自己来写一个。

问题描述：假如有5个物品，其重量分别是{2，2，6，5，4}，价值分别是{6，3，5，4，6}，背包容量为10，利用动态规划求解0/1背包问题。

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int w[5]={2,2,6,5,4};
int v[5]={6,3,5,4,6};
int C=10;

所以就是这样。 

大家都知道0/1背包问题怎么解决。就是把每个物品，装或者不装进行一次判断，求其最大价值。

 

但是看到图就懵逼了。 图用V(i,j)表示。

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	0	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9
3	0	0	6	6	9	9	9	9	11	11	14
4	0	0	6	6	9	9	9	10	11	13	14
5	0	0	6	6	9	9	9	12	12	15	15

简单说，表中 i 是前i个物品，表中 j 是背包容量。i=0表示不装入物品时，j=0表示背包容量为0。V(i,j)表示当背包容量为 j 时，装入前 i 个物品的最大价值。这是一个局部最优解，已经考虑了装不装入的所以情况。V(1,2)表示，当背包容量为2时，只考虑装入前一个物品的情况下的最大价值，表中V(5,10)为最后所求的最大价值。

动态规划的原理是局部最优。

拿到这个递推关系。j（背包容量）够的时候考虑到底装不装入，不够时直接等于前面那个的价值。

j<w(i)     V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i)    V(i,j)=max{V(i-1,j),V(i-1,j-w[i])+v[i]}

j>=w(i)    V(i,j) 是此时我考虑到 j（背包容量） 可以放的下我的第 i 物品，我要开始尝试怎么放价值最大。

V(i-1,j) 表示不装入物品，价值还和前面那个一样。

V(i-1,j-w[i])+v[i]   表示装入第i个物品。 就是说我现在要空出一个w[i] 的空间来放我的第i个物品（+v[i] ），但我放之前还要保证余下的空间j-w[i] 任然是一个局部最优解。就是 V(i-1,j-w[i]) 它是我考虑 前i-1物品，在j-w[j]余下的空间里，的最大价值。

例如，我在装第三个物品时考虑。它的w(重量)=6,v=5。j(背包容量)=1,2,3,4,5的时候都装不下它，所以和装入前两个物品时一致。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	0	0	6	6	9	9	9	11

6>=6 V(3,6)=max{V(2,6),V(2,0)+5}   比较之前6个空间装前两个物品（v=9），和我现在空出来6个空间装我的第三个物品(v=5)，价值哪个大。当然是9大，所以不装入。    继续到 j=8的时候，出现了新的情况，我可以考虑空出来6个空间装入第三个物品，然后还剩两个空间。先比一下 8>=6 V(3,8)=max{V(2,8),V(2,2)+5}  这里的V(2,2)就是背包容量为2时，且只考虑装入两个物品时的最优解。V(2,8)=6   V(2,2)+5=6+5=11   11大了。

V(5,10) 同理。一行一行算就ok了。

 

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define maxn 50000
using namespace std;
int V[50][50];
int x[6];
void KnapSack(int w[],int v[],int n,int C){
    int i,j;
    for(i=0;i<=n;i++){
        V[i][0]=0;
    }
    for(j=0;j<=C;j++){
        V[0][j]=0;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=C;j++)
            if(j<w[i-1]) V[i][j]=V[i-1][j];
            else V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);

    for(j=C,i=n;i>0;i--){
        if(V[i][j]>V[i-1][j]){
            x[i]=1;
            j=j-w[i-1];

        }
        else x[i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<x[i];
    }
    cout<<endl;
    cout<<V[n][C];
}

int main(){
    int w[5]={3,2,1,4,5};
    int v[5]={25,20,15,40,50};
    int C=6;
    int n=5;
    KnapSack(w,v,n,C);
}