Task05：反向传播

一、背景

梯度下降

• 给到$\theta \theta$(weight and bias)
• 先选择一个初始的${\theta }^0$，计算${\theta }^0$的损失函数（Loss Function）设一个参数的偏微分。
• 计算完这个向量（vector）偏微分，然后就可以去更新的你${\theta }^0$百万级别的参数（millions of parameters）。
• 反向传播（Backpropagation）是一个比较有效率的算法，让你计算梯度（Gradient）
  的向量（Vector）时，可以有效率的计算出来。

链式法则

连锁影响(可以看出x会影响y，y会影响z)。

二、反向传播

• 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
• 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
• 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
  
  对于$L(\theta )$就是所有$l^n$的损失之和，所以如果要算每个$L(\theta )$的偏微分，我们只要算每个$l^n$的偏微分，再把所有$l^n$偏微分的结果加起来就是$L(\theta )$的偏微分，所以等下我们只计算每个$l^n$的偏微分。 我们先在整个神经网络（Neural network）中抽取出一小部分的神经（Neuron）去看（也就是红色标注的地方）：
  
  取出一个Neuron进行分析：
  从这一小部分去看，把计算梯度分成两个部分
• 计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）
• 计算$\frac{\partial l}{\partial z}$( Backward pass的部分 )
  

Forward Pass

那么，首先计算$\frac{\partial z}{\partial w}$：
根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：
$\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1$，$\frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2$这里计算得到的恰好就是输入的$x_1$和$x_2$直接使用数字。

Backward Pass

(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层： 那怎么计算 $\frac{\partial l}{\partial z}$（Backward pass的部分）这就很困难复杂因为我们的l是最后一层：

计算所有激活函数的偏微分，激活函数有很多，这里使用Sigmoid函数为例。
这里使用链式法则（Chain Rule）的case1，计算过程如下：

最终的式子结果：

三、总结

我们的目标是要求计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）和计算$\frac{\partial l}{\partial z}$ ( Backward pass的部分 )，然后把$\frac{\partial z}{\partial w}$和$\frac{\partial l}{\partial z}$相乘，我们就可以得到$\frac{\partial l}{\partial w}$ ,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数。