【dp】排列问题——零钱兑换和组合总和IV

零钱兑换

很明显，本题使用完全背包算法，求解的是组合数，直接使用完全背包算法即可，为什么是组合数呢？

如果题目说 amount=5，coins=[1,2,5] 有9种方法，那就是排列数（挑选的元素有先后顺序），如下：

5=5
5=1+2+2
5=2+1+2
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=1+1+1+1+1

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int m = coins.size();
        int n = amount;
        vector<int> dp(n + 1, 0);  // dp[i]：容量为i的背包装满，最多有dp[i]种装法
        dp[0] = 1;
        // 组合：先物品、后容量
        // 遍历物品
        for(int i = 0; i < m; i++){
            // 完全背包：顺序遍历容量
            for(int j = coins[i]; j <= n; j++){
                dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

组合总和IV

题目有强调：顺序不同的序列被视作不同的组合

即我们本题求解是排列数

dp[i]: 使用数组nums，凑成整数 i 的排列个数

dp[i] = dp[i-nums[0]] + dp[i-nums[1]] + dp[i-nums[2]] + …

举个例子比如nums = [1，2，3]，target = 4

dp[4] = dp[4-1] + dp[4-2] + dp[4-3] = dp[3] + dp[2] + dp[1]

其实就是说4的排列数可以由三部分组成：1和dp[3]、2和dp[2]、3和dp[1]

再比如nums = [2，3，4]，target = 7

dp[7] = dp[7-2] + dp[7-3] + dp[7-4] = dp[5] + dp[4] + dp[3]

其实就是说4的排列数可以由三部分组成：2和dp[5]、3和dp[4]、4和dp[3]

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        // 完全背包
        // 排列：先容量、后物品
        int m = nums.size();
        int n = target;
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j++){
			for(int i = 0; i < m; i++){
				// 每一个小于当前容量j的物品nums[i]，都会被当作第一个元素
				if(nums[i] <= j) dp[j] += dp[j - nums[i]];  
			}
		}
        return dp[n];
    }
};

为什么不能先遍历物品，后遍历容量呢？

如果先遍历物品，后遍历容量的话，举一个例子：计算dp[3]的时候，结果集只有 {1,2} 这样的集合，不会有{2,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！