BZOJ 4565 字符合并 (区间 DP & 状压 DP)

本文详细解析了一种针对特定字符串操作的动态规划算法,旨在通过最优方式合并相邻字符以获得最大分数。文章深入探讨了状态定义、转移方程及边界条件,并通过样例输入输出展示了算法的实际应用。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description:

有一个长度为 n 的 01 串,你可以每次将相邻的 k 个字符合并,得到一个新的字符并获得一定分数 。得到的新字

符和分数由这 k 个字符确定。你需要求出你能获得的最大分数 。

Input:

第一行两个整数 n,k 。接下来一行长度为 n 的 01 串,表示初始串 。接下来 2^{k} 行,每行一个字符ci和一个整数wi,ci

表示长度为 k 的 01 串连成二进制后按从小到大顺序得到的第i种合并方案得到的新字符,wi 表示对应的第 i 种方案对应

获得的分数 。1 <= n <= 300,0 <= ci <= 1,1 <= wi <= 10^{9},k <= 8 。

Output:

输出一个整数表示答案

Sample Input:

3 2
101
1 10
1 10
0 20
1 30

Sample Output:

40
//第 3 行到第 6 行表示长度为 2 的 4 种 01 串合并方案 。00 -> 1,得 10 分,01 -> 1 得 10 分,10 -> 0 得 20 分,11 -> 1 得 30 分

Solution:

我们从数据范围中知道,合并一定比不合并好,最终我们得到的串一定是不能再合并了,而这个不能再合并的串的长度一定是在(0,k)。

我们定义 f [ i ] [ j ] [ sta ] 表示将 i 到 j 这一段合并成 sta 的最大分数 。注意最后一位是由 [ m,j)得到的,所以我们可以枚举断点来转移,需要注意的是 [ m,j)一定要合并成一位,所以需满足区间长度为 1 + ( k - 1 ) * x ( x >= 0 ) 。

状态转移:

f [ i ] [ j ] [ 0 ] = max( f [ i ] [ j ] [ 0 ] , f [ i ] [ m - 1 ] [ sta << 1 ] + f [ m ] [ j ] [ 0 ] );

f [ i ] [ j ] [ 1 ] = max( f [ i ] [ j ] [ 1 ] , f [ i ] [ m - 1 ] [ sta << 1 | 1 ] + f [ m ] [ j ] [ 1 ] );

但是现在有一个问题,我们用 sta 来表示最终状态有一个问题,就是我们将 001,01,1 这些状态全部记成了 1,但显然这样是不对的 。

所以我们用一个数组来记录最终状态是 1 或 0 时的最大分数 。

当最终长度是 1 时,特殊处理一下(详见代码)。

这样做的时间复杂度时 O ( \frac{n^{3}}{k} * 2^{k} ) 的,但是实际上合法状态不会很多,所以可以AC 。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 305;

long long INF;

int n, k;

char s[N];

int a[N], c[256];

long long f[N][N][256], g[2], w[N];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	scanf("%s", s + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = s[i] - '0';
	for (int i = 0; i < (1 << k); i++) scanf("%d%lld", &c[i], &w[i]);
	memset(f, 128, sizeof(f));INF = f[0][0][0];
	for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i][a[i]] = 0;
	for (int l = 2; l <= n; l++)
		for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
			int j = i + l - 1;
			int len = l;
			while (len >= k) len -= (k - 1);
			for (int m = j; m > i; m -= (k - 1))
				for (int s = 0; s < (1 << (len == 1 ? k - 1 : len - 1)); s++)
					if (f[i][m - 1][s] != INF) {
						if (f[m][j][0] != INF) f[i][j][s << 1] = max(f[i][j][s << 1], f[i][m - 1][s] + f[m][j][0]);
						if (f[m][j][1] != INF) f[i][j][s << 1 | 1] = max(f[i][j][s << 1 | 1], f[i][m - 1][s] + f[m][j][1]);
					}
			if (len == 1) {
				g[0] = g[1] = INF;
				for (int s = 0; s < (1 << k); s++)
					if (f[i][j][s] != INF)
						g[c[s]] = max(g[c[s]], f[i][j][s] + w[s]);
				f[i][j][0] = g[0];f[i][j][1] = g[1];
			}
		}
	long long ans = INF;
	for (int s = 0; s < (1 << k); s++) ans = max(ans, f[1][n][s]);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

 

### BZOJ1461 字符匹配 题解 针对BZOJ1461字符匹配问题,解决方法涉及到了KMP算法以及树数组的应用。对于此类问题,朴素的算法无法满足时间效率的要求,因为其复杂度可能高达O(ML&sup2;),其中M代表模式的数量,L为平均长度[^2]。 为了提高效率,在这个问题中采用了更先进的技术组合&mdash;&mdash;即利用KMP算法来预处理模式通过构建失配树(也称为失败指针),使得可以在主上高效地滑动窗口检测多个模式的存在情况。具体来说: - **前缀函数与KMP准备阶段**:先对每一个给定的模式执行一次KMP算法中的pre_kmp操作,得到各个模式对应的next数组。 - **建立失配树结构**:基于所有模式共同构成的一棵Trie树基础上进一步扩展成带有失配链接指向的AC自动机形式;当遇到某个节点不存在对应字符转移路径时,则沿用该处失配链路直至找到合适的目标或者回到根部重新开始尝试其他分支。 - **查询过程**:遍历整个待查文本序列的同时维护当前态处于哪一层级下的哪个子结点之中,每当成功匹配到完整的单词就更新计数值至相应位置上的f_i变量里去记录下这一事实。 下面是简化版Python代码片段用于说明上述逻辑框架: ```python from collections import defaultdict def build_ac_automaton(patterns): trie = {} fail = [None]*len(patterns) # 构建 Trie 树 for i,pattern in enumerate(patterns): node = trie for char in pattern: if char not in node: node[char]={} node=node[char] node[&#39;#&#39;]=i queue=[trie] while queue: current=queue.pop() for key,value in list(current.items()): if isinstance(value,int):continue if key==&#39;#&#39;: continue parent=current[key] p=fail[current is trie and 0 or id(current)] while True: next_p=p and p.get(key,None) if next_p:break elif p==0: value[&#39;fail&#39;]=trie break else:p=fail[id(p)] if &#39;fail&#39;not in value:value[&#39;fail&#39;]=next_p queue.append(parent) return trie,fail def solve(text, patterns): n=len(text) m=len(patterns) f=[defaultdict(int)for _in range(n)] ac_trie,_=build_ac_automaton(patterns) state=ac_trie for idx,char in enumerate(text+&#39;$&#39;,start=-1): while True: trans=state.get(char,state.get(&#39;#&#39;,{}).get(&#39;fail&#39;)) if trans!=None: state=trans break elif &#39;#&#39;in state: state[state[&#39;#&#39;][&#39;fail&#39;]] else: state=ac_trie cur_state=state while cur_state!={}and&#39;#&#39;in cur_state: matched_pattern_idx=cur_state[&#39;#&#39;] f[idx][matched_pattern_idx]+=1 cur_state=cur_state[&#39;fail&#39;] result=[] for i in range(len(f)-1): row=list(f[i].values()) if any(row): result.extend([sum((row[:j+1]))for j,x in enumerate(row[::-1])if x&gt;0]) return sum(result) patterns=[&quot;ab&quot;,&quot;bc&quot;] text=&quot;abc&quot; print(solve(text,text)) #[^4] ```
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