qq_42347617的博客

完美的对称矩阵A=ATA = A^TA=AT⋆\star⋆ 对称矩阵特征值一定是实数⋆\star⋆ 对称矩阵的多重特征值，对应的特征空间的维度一定等于重数 ⇔\Leftrightarrow⇔ 几何重数 == 代数重数 ⇔\Leftrightarrow⇔ 一定有n个线性无关的特征向量 ⇔\Leftrightarrow⇔ 一定可相似对角化正交对角化对称矩阵可以被正交对角化（P可以是一个标准正交系）⋆\star⋆ 向量点乘（内积）与矩阵乘法之间的关系：v⃗1⋅v⃗2=(v1)Tv2\vec{v}_1·

什么是特征值/特征向量？方阵的一个属性，描述方阵的“特征”Au⃗=λu⃗A\vec{u} = \lambda\vec{u}Au=λu不改变方向，只伸缩λ\lambdaλ 称为矩阵A的特征值（eigenvalue）u⃗\vec{u}u称为A对应于λ\lambdaλ的特征向量（eigenvector）求解：特征方程特征向量不考虑零向量（平凡解）→u⃗≠0\rightarrow \vec{u} \ne 0→u​=0(A−λI)u⃗=0(A - \lambda I)\vec{u} =

6.8 行列式 (determinant)行列式是方阵的一个属性行列式描述的是：n个向量围成的“有向面积”，来刻画这组向量（基）（将A映射到一个纯量）det ()：按行排列（a，b），（c，d）det⁡(abcd)\det{\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)}det(ac​bd​)行列式求法：面积 --> 割补法行列式的四大基本性质一、det⁡I=1\det{ I} = 1detI=1二、交

一个空间的不同基的转换空间的基 和 坐标系一一对应坐标（用基线性表示的系数）：(c1,c2...cn)T记为:[x⃗]ε(c_1, c_2 ... c_n)^T 记为: [\vec{x}]_\varepsilon(c1​,c2​...cn​)T记为:[x]ε​标准基（Standard Basis）：ε={e⃗1,e⃗2,...e⃗n}\varepsilon = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2, ... \vec{e}_n\}ε={e1​,e2​,...en​}标准正交基（Or.

空间空间是一个集合欧几里得空间：有序实数元组的集合（x, y …）二维：R2 （R：实数集，2：每个元组包含两个元素）（点集、起点为原点的向量集合）-> 向量空间：空间中的元素都是向量理论：对于向量：必须定义两种运算 （加法 、 数量乘法）这两种运算必须满足十条性质：封闭性: u + v, k · u (加法和乘法) 都封闭（closure）加法：交换律，结合律零律：存在零元O属于向量空间，使得: u + O = u对每个u存在-u使得u + (-u) =

线性组合只用两个基本运算 “向量加法，变量乘法（数乘）” 得到的向量矩阵空间下的坐标（任一向量）：基向量的线性组合A * (x, y) T线性相关/无关线性相关：存在一组不全为0的k使：k1α1+k2α2+...+knαn=0k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_n \alpha_n = 0k1​α1​+k2​α2​+...+kn​αn​=0⇔\Leftrightarrow⇔ 存在一个向量可以写成其他向量的线性组合线性无关：只有k全为0才能使: (反证法

数的分解：66 = 2 * 3 * 11（质因数分解）矩阵的分解：将一个矩阵分解成为几个矩阵的乘积矩阵的LU分解将一个矩阵分解成为几个矩阵的乘积LU分解目的：提高计算效率将A分解为: A = L · UL：Lower Triangle MatrixU: Upper Triangle Matrix【注】通常：单位下三角矩阵（主对角线为1），上三角矩阵不保证单位LU分解方法：高斯消元 --> 将矩阵A变成上三角矩阵UEp...E3⋅E2⋅E1⋅A=UE_p ... E_3 · E_

求矩阵的逆待定系数 AX = I=> (A | I) --> ( I | A-1)【注】(A|E) 因为左边是E不可能化简出全0行，不可能有无数解何时无解？系数矩阵化为行最简时有0行Q: 只右乘，得到右逆A: 定理：如果一个方阵A有右逆B，则B也是A的左逆，即B是A的逆我的实现 def inv(self): """返回矩阵的逆""" self._forward() self._backward()

5.31 线性系统高斯消元法主元：pivot 归一化，不断向下消除主元为0时，与当前列最大值的行交换（避免误差）缺点：化成阶梯矩阵后还需要回代求解（繁琐）高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan Elimination）没b用，就是再反向进行一遍高斯消元法，化成行最简矩阵实现G-J我的实现： def gauss_jordan_elimination(self): """返回Gauss-Jordan elimination的结果""" T = self

图像变换变换矩阵缩放T=(a00b)T = \left( \begin{matrix} a& 0 \\ 0&b \end{matrix} \right)T=(a0​0b​)翻转：关于x轴：Tx=(100−1)T_x = \left( \begin{matrix} 1&0\\0&-1\end{matrix} \right)Tx​=(10​0−1​)关于y轴：Ty=(−1001)T_y = \left( \begin{matrix} -1 &am

矩阵

6.1 极大似然估计参数估计方法：模型一定，参数未知，通过样本反推最有可能使样本出现的参数连续性随机变量的极大似然估计联合概率密度函数一次采样n个样本可近似看成是n个独立同分布的随机变量n个样本数据代入联合概率密度函数应取最大值样本数据当作常数，参数当作自变量，求取似然函数取最大值的参数一般步骤：写似然函数对似然函数取对数求偏导数（导数），解方程组（方程）一致性：满足一致性，样本越多估计越准确不足之处：依赖于概率分布类型的假设，真正的独立同分布不容易满足，样本不应过少

5.31 线性回归最小二乘法找到合适的参数，使残差平方和最小（残差：拟合结果和实际值的差）平方和二元函数最小化：必要条件：偏导数=0（不能保证处于最小值，且只有一个极值点）解线性方程组，求得待定系数用线性代数实现最小二乘法解线性方程组m = y -Xa<=>求mmT最小值->求自变量为向量的函数的最小值如何使回归方程更准确回归方程的形式应准确：线性回归必须要求是线性关系全部影响因素都应考虑到不相干的因素不应被纳入模型采集的样本数据应当准确一致性：样本越

6.2 傅里叶变换常数项级数函数项级数：函数列收敛点，发散点收敛域，发散域一致收敛性傅里叶级数时域 -》 幅度-频率 -》 初始相位-频率正弦函数的叠加所有周期函数都可以由三角函数叠加而得三角函数系的正交性1, sin x, cos x, sin(2 x), cos(2 x), … sin(n x), cos(n x)任意两个乘积在[-pi, pi]上的定积分为0傅里叶级数收敛性迪利克雷充分条件：周期延拓傅里叶变换推广：对于定义域是无穷，且非周期函数，无法使用傅里叶级数

5.20 微分方程微分方程数值解：不求出具体解析式，只求出数值映射变化率相关问题未知函数y，未知函数的导数，自变量组成的方程微分方程的解是 函数通解：解中含任意常数，常数个数等于阶数特解：通过初始条件确定了常数值可分离变量的一阶微分方程g(y) dy = f(x) dx齐次方程dy / dx = f(y / x)一阶线性微分方程dy / dx + P(x) y = Q(x)Q(x) = 0时：Q(x) != 0时：常数变易法：C换成未知函数u(x), y = u(

5.28 多元函数聚点：去心邻域（四面八方趋近 值相等 -> 极限才存在）二阶偏导在连续条件下与求导次序无关二元函数的极值必要条件：一阶偏导求驻点充分条件：二阶偏导判存在条件极值拉格朗日乘数法局限：方程组求解困难只是必要条件，而非充要条件多变量情况下，需根据二阶偏导数构成的海森矩阵的正定性判断是否属于极值点二元函数的全微分切平面近似表示方向导数 & 梯度偏导数 --任意方向变化率–> 方向导数（用于搜索函数极值，找最陡的【局部最优解】）射线的方向方

5.27 高数泰勒函数的收敛域（可多项式逼近的邻域）：收敛范围：始终只能在一个小范围内收敛到原函数收敛范围和展开点有关收敛范围关于展开点对称收敛半径：函数展开点到最近奇点的距离=》收敛圆（包含复数域） ：收敛区域多项式逼近无法越过间断点（收敛半径=展开点到最近的间断点的距离）//广义间断点高次方程求根 ： 牛顿迭代法五次以上方程没有求根公式切香蕉迭代法python实现：aim: 求x^4 - 2x^3 - x + 2 = 0的根x0 = 5err = 1times =

泰勒