最小生成树 - prim 算法

      最小生成树 ：在一个有n 个结点的连通图G中，G的一个连通子图中包含原图中的所有 n 个结点，在使边的权之和最小的情况下含有使保持图连通的最少的边。这个连通子图就是  G 的一个最小生成树。

      注：最小生成树不唯一，但是边的权之和唯一。

      求最小生成树有两个常用的算法 ：kruskal(克鲁斯卡尔）算法  和 prim(普里姆）算法，这一节讲 prim 算法；

      将设有两个数组 T，U 其中 T存连通图的所有点，U存最小生成树的点，起初 U 中 只含有一个点 s。首先在T-U中寻找U中s邻接点中距离s最近的一个点 a 加入U中，然后再在T-U中寻找 s,a 的邻接点 距离 a 或 s 最近的一个点将其加入U中重复上述操作，直到 T  = U 为止。

      文字理解较困难，看代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 1000
int map[MAXN][MAXN];
int dis[MAXN];
int vis[MAXN];
void init(){ 初始化，这里的map用来储存图，vis 用来标记是否在最小生成树的集合中(就相当于进了U数组)
	memset(map,INF,sizeof(map));
	memset(vis,-1,sizeof(vis));
}
int prim(int n,int start){ //n是点的个数，start 是 起始点
	int i,j,sum = 0,cnt = 1;
	
	for (i=1;i<=n;i++) //开始将与起始点的距离都存入dis数组
	dis[i] = map[start][i];
	vis[start] = 1; //标记起始点进入最小生成树的集合中
	dis[start] = 0; //距离本身为零
	for (i=1;i<n;i++)
	{
		int k, min = INF;
		for (j=1;j<=n;j++)
		{
			if (vis[j] == -1 && dis[j] < min) //选择距离被标记的点距离最近的点
			{
				min = dis[j];
				k   = j;
			}
		}
		if (min != INF) //当找到距离最小点时进入
		{
			vis[k] = 1; //标记
			sum += min; //将权值加起来
			cnt ++;     //记录被标记的数目
			
			if (cnt == n) //当标记了n个点时就说明最小生成树确定了
			break;
			
			for (j=1;j<=n;j++) //更新距离start点的距离
			{
				if (vis[j] == -1 && dis[j] > map[k][j])
				dis[j] = map[k][j];
			}
		}
	}
	return cnt == n ? sum : -1; //如果找出了最小生成树就返回权值和，如果不存在最小生成树就返回 -1
}
int main (){
	int i, k, n, m, a, b, c;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	init();
	for (i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		map[a][b] = c;
		map[b][a] = c;
	}
	int ans = prim(n,1);
	printf("%d\n",ans);
}

注：还可以根据一个图是否有最小生成树判断是否是连通图