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LCT复杂度分析首先对维护的树进行重链剖分。定义节点 xxx 的权值 w(x)w(x)w(x) 为其下方挂的虚儿子的子树大小和加 111 。定义权值 s(x)s(x)s(x) 为 xxx 在所属 splaysplaysplay 中对应子树的 www 和。取势函数 Φ=Φ1+Φ2\Phi=\Phi_1+\Phi_2Φ=Φ1​+Φ2​ ，其中 Φ1\Phi_1Φ1​ 为 “重虚边” 的个数， Φ2=∑u∈Tlog⁡s(u)\Phi_2=\sum_{u\in T}\log s(u)Φ2​=∑u∈T​logs(

左偏树是一种基于二叉树的可并堆。定义一个节点的“距离” disxdis_xdisx​ 为它到空节点的最短路长度，左偏树强制要求 dislson≥disrsondis_{lson}\ge dis_{rson}dislson​≥disrson​，所以 disx=disrson+1dis_x=dis_{rson}+1disx​=disrson​+1。可以证明，disx=O(log⁡size)dis_x=O(\log size)disx​=O(logsize)，其中 sizesizesize 为子树 xxx 的大

文章目录原理代码实现（单点修改区间查询）树状数组上二分代码实现卡常应用代码实现原理树状数组（binary index tree）可以以极小常数在 log⁡\loglog 时间内维护前缀信息。定义 lowbit⁡(x)\operatorname{lowbit}(x)lowbit(x) 表示 xxx 的最低的二进制位，如lowbit⁡(2)=2,lowbit⁡(3)=1\operatorname{lowbit}(2)=2,\operatorname{lowbit}(3)=1lowbit(2)=2,low