【项目实训日志四】BR-MTC问题概述及思路总结

BR-MTC问题描述

经典的最小生成树（MST）问题是多项式时间可解的。现在考虑一个最小生成树的如下变形——给一个顶点r，要求找一棵以r为根的生成树，总的费用不超过给定预算，覆盖的顶点数目最多。这个问题可称为Budgeted Rooted Max Tree Cover问题（简记为BR-MTC问题），是一个NP困难问题。
BR-MTC问题的定义如下：
输入一个给定的加权无向图 G=(V,E)，这些边的权重被定义为正整数且在树枝上满足度量的三角不等式，在图的结点中给定一个根结点 r∈V，并且给定一个最大的预算范围B。
目标：找到图 G 的一棵包含根节点r的子树，使得这棵子树的所有边的权重之和不超过 B，并且尽可能多的覆盖 G 中的顶点。

思路总结

问题分析：

由我们的问题首先想到MST最小生成树问题。最小生成树问题定义如下：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边，即包含n个顶点的，权重最小的树。而我们的BR-MTC问题则是给定预算范围，使我们找到的子树在满足总权重不大于B的情况下，覆盖的顶点N尽量多。
由于树的边数总是等于顶点数减一，那么顶点越多，则代表边数越多，在边总权重相同的情况下，要想求得覆盖尽量多顶点的字数，需要使得字数的边数尽量多，即使得求得的解的各边平均权重尽量小。

我的想法：

初步粗略想法：
第一步，遍历图中所有的边，按照边的权值从小到大排序。若有权值大于预算B的边，则直接舍去，因为若将这些边添加进来，则显然已经超出预算。
第二步，将与根节点r相连的边中，权值最小的那条边（若权值相同，则随机选取）放入备选集合$V$