1453F Even Harder（dp）

1453F Even Harder（dp）

Codeforces Round #688 (Div. 2)

F. Even Harder

题面：Even Harder

题意：水平方向上有 $[1,n]$ 这 $n$ 个平台，每个平台 $i$ 可以跳跃到 $[i+1,i+a_i]$ 其中一个平台上，现在要从 $1$ 跳到 $n$ 有多条跳跃路径，问至少要将多少个 $a_i$ 置为 $0$ 才能只剩下唯一一条路径能从 $1$ 跳到 $n$。

范围：$2\le n\le 3000,0\le a_i\le n-i$。

分析： 显然这是一个动态规划问题，那要如何进行设计 $dp$ 转移方程呢？数据范围是 $3000$，提示我们需要使用二维 $dp$。

从最简单的一维开始，假设 $dp[i]$ 为从 $1$ 开始到达 $i$ 使得跳跃路径唯一的最小置零操作次数，可以想到用 $dp[j](j<i，j+a_j\ge i)$ 来更新 $dp[i]$，但是更新中会发现一个问题：

如果 $dp[j]$ 是由 ② 更新而来的，那么用 $dp[j]$ 来更新 $dp[i]$ 的话可能会导致出现多条路径从 $1$ 到达 $i$。

由此我们明白了另外一个维度的约束信息 $x$，需要用来限制最远到达的距离，那么 $dp[i][x]$ 就表示从 $1$ 出发到达 $i$ 且最远距离不超过 $x$ 的最小置零操作次数。

那么回到上面图片的例子中，此时我们需要用 $j$ 来更新 $i$，那么现在的更新方式为

$dp[i][j+a_j]=min(dp[i][j+a_j],dp[j][i-1]+cnt)$

这种情况下 $j$ 能到达的最远距离刚好为 $j+a_j$，并且我们利用 $dp[j][i-1]$ 来放置小于 $j$ 的点直接到达 $i$ 点导致存在多条跳跃路径。另外，不论是上述的一维 $dp[i]$ 还是 $dp[i][x]$ 都需要用到 $cnt$，表示 $k\in [j+1,i-1]$ 且 $k+a_k\ge i$ 这样的点的数量，防止 $dp[j][i-1]$ 或者 $j$ 跳到该区间再跳到 $i$ 之后形成多条路径的情况出现。

最后需要注意的是 $dp[i][x]$ 表示能到达 $i$ 且最远能到的距离不超过 $x$ 所需要的操作次数，因此需要注意更新 $dp[i][x]$ 为 $dp[i][1...x]$ 的最小值。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;
 
inline int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
    {
        if (ch == '-')
            w = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return s * w;
}
 
const int MAXN = 3000 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
 
int n;
 
int arr[MAXN];

int dp[MAXN][MAXN];

signed main()
{
    int T = read();
    while (T--)
    {
        n = read();
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
        	for (int j = 0; j <= n; j++)
        	{
        		dp[i][j] = 0;
        	}
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            arr[i] = read();
        }
        // 注意从第二个开始，因为1到1操作次数为0，更新后dp[0][j]均为0
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
        	for (int j = i; j < n; j++)
        	{
        		dp[i][j] = INF;
        	}
        	int cnt = 0;
        	for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
        	{
        		if (j + arr[j] >= i)
        		{
        			dp[i][j + arr[j]] = min(dp[i][j + arr[j]], dp[j][i - 1] + cnt);
        			cnt++;
        		}
        	}
        	for (int j = i + 1; j < n; j++)
        	{
        		dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
        	}
        }
        cout << dp[n - 1][n - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

【END】感谢观看