数学板块学习之组合数

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博客主要介绍了组合数，包括其表示形式、计算公式、求和公式、常见公式等内容，还提及了递推法代码，指出其复杂度高达O(n²)，并提到可在O(n)时间内求阶乘。

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组合数

$C_{n}^{m}$ 也写做 $(nm)\tbinom{n}{m}$ ，其实 $(nm)\tbinom{n}{m}$ 比较正宗，但是习惯上还是喜欢 $C_{n}^{m}$

$Cnm=n!m!(n−m!)C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m!)}$
求和公式( $k=1.2.⋯nk=1.2.\cdots n$ )：
$S(k)=n(n+1)2S(k)=\cfrac{n(n+1)}{2}$
$S(2k-1)=n^2$
$S(k2)=n(n+1)(2n+1)6S(k^2)=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S((2k−1)2)=n(4n2−1)3S((2k-1)^2)=\cfrac{n(4n^2-1)}{3}$
$S(k^3)=n^2(2n^2-1)$
$S((2k-1)^3)=n^2(2n^2-1)$
$S(k4)=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)30S(k^4)=\cfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
$k^5 ) = \cfrac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$
$\cfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$\cfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$\cfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}$

常见公式:
$C_{m}^{n}=C_{m}^{m-n}$

$C_{m}^{n}C_{n}^{r}=C_{m}^{r}C_{m-r}^{n-r}$

$C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n}+C_{m-1}^{n-1}$

$Cmm=0C_{m}^{0}-C_{m}^{1}+C_{m}^{2}-\cdots\ \pm\ C_{m}^{m}=0$

$∑i=0mCmixi=(x+1)m\sum_{i=0}^{m}C_{m}^{i}x_i=(x+1)^m$

$Cm+r+1r=∑i=0rCm+iiC_{m+r+1}^{r}=\sum_{i=0}^{r}C_{m+i}^{i}$

$∑i=0mCmi=2m\sum_{i=0}^{m}C_{m}^{i}=2^m$

递推法代码

int comb[maxn][maxn];
const int MOD = 1e9+7;
int main(){
    for(int i = 0; i < maxn; ++i){
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j){
            comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}

但是明显复杂度高达 $O(n^{2})$

在 $O (n)$ 时间内求阶乘

typedef long long ll;
const int maxn = 50000;
const double INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;


ll F[maxn],Finv[maxn],inv[maxn];//F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
void init(){
    inv[1] = 1;
    for(ll i = 2; i < maxn; ++i){
        inv[i] = (MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    }
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(ll i = 1; i < maxn; ++i){
        F[i] = F[i-1]*i%MOD;
        Finv[i] = Finv[i-1]*inv[i]%MOD;
    }
}
ll comb(int n,int m){//C[n][m]
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n]*Finv[n-m]%MOD*Finv[m]%MOD;
}
int main(){
    init();
    
    return 0;
}