牛客网 NC205087 牛妹爱数列

1. 题目描述

1.1. Title

牛客网 NC205087 牛妹爱数列

1.2. Time Limit

C/C++ 1秒，其他语言2秒

1.3. Memory Limit

C/C++ 262144K，其他语言524288K

1.4. Problem Description

牛妹正在玩一个数列他手里有一个长度为n的序列a，保证它是一个01序列，并执行以下两种操作：

1. 单点修改：将位置x上的数翻转（0变1,1变0）
2. 前缀修改：将位置1~x上的数翻转（每个数都0变1,1变0）。他现在想要最小化翻转次数，使得数列上的所有数都变为0。

1.5. Input

第一行，输入一个数 $n$ 。第二行，输入 $n$ 个数，第 $i$ 个数表示 $a_i$。

1.6. Output

输出最小翻转次数。

1.7. Sample Input

10
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0

1.8. Sample Output

3

1.9. Note

数据保证 $1\le n\le 10^5,0\le a_i\le 1$。

1.10. Source

牛客网 NC205087 牛妹爱数列

2. 题解

题解来自出题人的牛客博客。

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考虑动态规划。

我们定义 $dp[i][0/1]$ 表示当前第 $i$ 个位置，将前 $i$ 个位置全变成 $0/1$ 的最少操作数。

如果当前位置上 $a[i]=1$，则：

$dp[i][0]=min(dp[i-1][0]+1,dp[i-1][1]+1)$，我们可以将 $a[i]$ 单独翻转，也可以将这前缀 $1$ 一起翻转；

$dp[i][1]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+1)$，我们可以将前缀 $0$ 翻转，然后把 $a[i]$ 拼上去。

如果当前位置上 $a[i]=0$ ，则：

$dp[i][0]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+1)$，我们可以将前缀 $1$ 翻转，然后把 $a[i]$ 拼上去；

$dp[i][1]=min(dp[i-1][0]+1,dp[i-1][1]+1)$，我们可以将 $a[i]$ 单独翻转，也可以将这前缀0一起翻转；

答案记为 $min(dp[n][0],dp[n][1])$。

时间复杂度：$O(n)$。

3. 代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100005;

int a[N], dp[N][2] = {0}, n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i] == 1) {
            dp[i][0] = min(dp[i - 1][0] + 1, dp[i - 1][1] + 1);
            dp[i][1] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + 1);
        } else {
            dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + 1);
            dp[i][1] = min(dp[i - 1][0] + 1, dp[i - 1][1] + 1);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][0]);
    return 0;
}

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