博弈论

巴什博奕

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149

有n个物品  ，有两个参与者A,B ，每人每次从中取[1,m]个 ,假设每人都取最优策略, 求谁最后取完物品 假设A先取

   如果n=m+1，显然不管第一次A取多少个，都没办法取完，而剩下的物品B可以一次性取完，所以结果一定是B赢

  因此，我们可以发现一个先取者的必胜策略，即对于n=(m+1)*k+s;  我们令A先取s个，那么对于B无论他取多少个，A都可以取一个数，使得A取的物品数+上次B取的物品数=m+1   这样就出现不管B取多少个，到最后总能剩下m+1   所以B一定会输；

int n,m;
int k=n%(m+1);
if(k==0) cout<<"B Win"<<endl;
else cout<<"A Win"<<endl; 

斐波那契博弈

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2516

有n个物品  ，有两个参与者A,B ，每人每次从中取[1,上一个人取物品数的2倍]个 ,假设每人都取最优策略, 求谁最后取完物品 假设A先取

应用了斐波那契数列，“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

总结就是一句话：对于n  若是斐波那契数  则A赢； 否则B赢

sg函数参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/yizhangbiao/article/details/51992022

一共有n个物品总结    sg[]==0  为必输策略

  1 每次取1~m个   sg[x]=n%(m+1);

  2 每次取任意个   sg[x]=x;

  3每次取一系列不连续中数任意一个 mex(x);

威佐夫博奕（Wythoff Game）

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

关键在于判断 是不是  奇异局势

是   先手输   否   先手赢

判断条件 a==|b-a|*((sqrt(5)+1)/2)

那什么叫 奇异局势呢？

对于（ak,bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)       ak 是前面没有出现过的最小的自然数 ，bk=ak+k;

如：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）

性质1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。     由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。     2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

尼姆博奕（Nimm Game）

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850

有m堆各若干个物品，两个人A,B轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

同威佐夫博弈一样 也是需要判断奇异局势   是  先手输  否  先手赢

判断条件  

int ans=0,a[1005];
for(int i=1;i<=m;i++)
  {
     cin>>a[i];
     ans^=a[i]; 
   } 
if(ans==0) cout<<"B Win"<<endl;
else cout<<"A Win"<<endl; 

如何将非奇异局势变为 奇异局势   也就是说  A要赢 第一次应怎么取呢？

原理：m=3 时 对于（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品 就形成了奇异局势（55，81，102）

else{
	   int cnt=0;
	        for(int i=1;i<=m;i++){
		        int k=ans^a[i];
		        if(k<a[i]) cnt++;
	        } 
	        cout<<cnt<<endl;
           }

sg函数的应用

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847

#include<iostream>
#include<cstring> 
using namespace std;
int n,arr[15],sg[1005];

int mex(int x){
	if(sg[x]!=-1) return sg[x]; //如果sg[x]不为-1  直接输出 
	bool vis[1005];
	for(int i=0;i<1005;i++) 
	  vis[i]=false;//初始化标志位 
	for(int i=0;i<=10;i++) {
		int temp=x-arr[i];
		if(temp<0) break;
		sg[temp]=mex(temp);//相当于dfs
		vis[sg[temp]]=true;//该值出现过  标记
	}
	for(int i=0;;i++){
		if(!vis[i]) {
			sg[x]=i;break;//当前sg[]集合中未出现的最小的自然数
		}
	}
	return sg[x];
} 

int main(){
	arr[0]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++)
	  arr[i]=arr[i-1]*2;//数组arr[]初始化  即每步可选择的牌数 
	while(cin>>n){
		memset(sg,-1,sizeof(sg));//初始化 因为sg函数要求的是大于等于0 所以初始化为-1
		if(mex(n))  cout<<"Kiki"<<endl;//mex 函数是关键 
		else cout<<"Cici"<<endl; 
	} 
	return 0;
}

组合博弈 

有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……

我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。               第2个子游戏也是只有一堆 石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。                             第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每 个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保 守了些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。    最后的sg值显然就是三个sg值的异或和