数字信号处理——分段序列卷积

数字信号处理中的序列卷积其实不会很难，主要是掌握卷积的范围，然后套用公式、运用简单的图示就可以方便解出答案。我将通过两个例子进行说明。（有不对的地方希望大家可以帮忙指出哦~）

例 1：直接计算下面两个序列的卷积和y(n)=x(n)*h(n):

        

        

首先，按照卷积的定义（即换元、翻褶、累加），由于换元之后是关于m的累加，而此时m是x序列的变量，故m的求和范围就是x(n)的有效区间即n>=n0，因此可以写出y(n)的表达式：

                   

将式子带入可得：

          

接下来n的范围我们可以画图来定，画图之前要明确一点就是翻褶的对象，在这里我们翻褶的对象是h(n)，所以我们平移的范围也是由h(n)来确定，还有一点需要明确的是h(n)的有效区间长度，很明显这里h(n)的长度是N-1.

如图是两段序列的有效区间，左边为翻褶后的h(n)，右边为x(n)，接下来只要将h(n)的区间向右平移即可，平移距离为n：

当n<n0时，两区间没有交集，即此时两序列的值都为0，故卷积求和后为0；

当n0<n<=n0+N-1时，两区间开始有交集，此时有效区间（两序列有效区间的交集）为[n0, n]即m的求和区间；

当n>n0+N-1时，h(n)已完全进入x(n)有效区间，此时有效区间就是h(n)的区间[n-N+1, n]即m的求和区间；

确定了不同情况下m的求和区间后，就可利用等比序列求和公式算出最后的结果啦    ~    

例 2：直接计算下面两个序列的卷积和y(n)=x(n)*h(n):

                         

                        

首先，m的求和范围就是x(n)的有效区间，即[-2,2];

其次，明确翻褶对象h(n)，画出翻褶后的范围，u(n)的有效区间是n>=0,故翻褶后n<0；

最后，画上x(n)的范围，向右平移h(n)的有效区间（要从没交集的地方开始喔），找到两序列有效区间交集求和就可以啦~

如图，一出来是这样的：

当n<=-2时，两区间没有交集，即此时两序列的值都为0，故卷积求和后为0；

当-2<n<=2时，两区间开始有交集，此时有效区间为[-2, n]即m的求和区间；

当n>2时，x(n)已完全包括在h(n)里，故此时有效区间就是x(n)有效区间[-2,2]即m的求和区间；

确定了不同情况下m的求和区间后，就可利用等比序列求和公式算出最后的结果啦    ~