线性卷积运算

一、卷积定义

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是g(n)序列和h(n)，则卷积的结果
$$y(n)=g(n)\ast h(n)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }g(i)h(n-i)$$
其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。

二、计算

假设有两个序列$$g(n)=2x^2+x+1$$
$$h(n)=3x^3+0.5x^2+2x+1$$

2.1直接相乘

y = gh
则$$y(n)=6x^5+4x^4+7.5x^3+4.5x^2+3x+1$$
最后y(n)的项数等于g(n)和h(n)项数之和-1

2.2 一维阵列相乘

$$g(n)=[1,1,2]$$

$$h(n)=[1,2,0.5,3]$$

（1）取g(0)乘以h(n)右移0位；
得到$$y(0)=[1,2,0.5,3]$$

（2）取g(1)乘以h(n)右移1位；
得到$$y(1)=[0,1,2,0.5,3]$$

（3）取g(2)乘以h(n)右移2位；
得到$$y(2)=[0,0,2,4,1,6]$$

（4）将所有数值叠加，得到
$$y(n)=y(0)+y(1)+y(2)=[1,3,4.5,7.5,4,6]$$

2.3 翻褶、移位、相乘、相加

（1）翻褶
由卷积公式，可以看出
$$y(n)=g(n)\ast h(n)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }g(i)h(n-i)$$
h(n-i)取n为0，得到h(-i)，h(-i)可由h(i)对Y轴做翻转得到，所以需要经过翻褶这个步骤，翻褶之后H(n)如下图所示（这里将翻转之后的定义为H(n)）

（2）移位
求取y(0)时，将H(n)右移0位；y(1)时，将H(n)右移1位；以此类推
（3）相乘
以y(0)为例，g(n)和H(n)如下

将g(n)和H(n)每一项对应相乘，得到[1,0,0]
（4）相加
$$y(0)=\sum _{i=0}^{2}g(i)h(-i)=\sum _{i=0}^{2}g(i)H(i)=1+0+0=1$$
按照以上步骤2~4，分别求出y(n)其余数值，这里n的取值为g(n)和h(n)阵列长度之和减1