1657 电子龟（三维DP，动态规划的阶段、状态、决策再理解）

最新推荐文章于 2024-10-17 17:36:08 发布

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本文探讨了一种通过修改指令序列使电子龟移动至离起始点最远距离的算法。利用三维动态规划方法，dp[i][j][k]表示在前i个字符变换j步后，方向为k的最优解。文章详细解析了状态转移方程，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

1657 电子龟

电子龟的行动，是沿着直线左右走动的。他能够接受两种指令，“T”（向后转，

即如果面向左，改成向右；否则就向左）和“F”（向当前面朝的方向往前移动

一个单位距离）。

现在给出一串指令，让电子龟来执行。你必须改动n次指令，一次改变一个（一个

指令可以改动多次）。使得电子龟执行完所有的指令后，离起始点最远。

样例解释：

在第一个样例中，最好方案是把“T”变成“F”，最远距离为2。

在第二个样例中，最好方案是把第四个变成“F”，然后把最后一个或者第一个变成“T”。

收起

输入
单组测试数据
第一行是一个字符串S，代表原始的指令串，只包含'T','F'字符。（1≤|S|≤100）
第二行是一个整数n，表示要对指令作多少次改变。（1≤n≤50）
输出
共一行，一个整数，表示电子龟执行完所有的指令后，离起始点的最远距离。
输入样例
FT
1
FFFTFFF
2
输出样例
2
6

题解解释（注意区分阶段、状态）：

可以用三维dp来保存状态， dp[i][j][k]表示在前i个字符变换了j步之后方向

为k(k = 1 or k = 0)的最优解，也就是离原点的最大距离。这里规定0方向为正

方向，1位负方向，表示的是当前这个人朝哪个方向。这两个方向是对立的。

所以就可以递推一个关系式，分第i个字符为'F' or 'T'时

如果为'F'

　　依次枚举在第i个位置变换了几步，这是枚举的范围为0~j, 假设变换了k步

(和上面的 $dp[i][j][k]$ 当中的k不是一个)

　　　　1. 如果当k为奇数的时候，就是相当于变化了1步，所以'F'就变成'T'了，

那么他的方向也因此变化了。所以当前的方向一定和上一步(也就是i - 1时的方

向)的方向相反，所以有：

$dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i - 1][j - k][1])$ ,

$dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - k][0])$

　　　　2.如果k为偶数，相当于没有变化，所以还是字符'F'，如果是正方向，

那么他就可以由上一步继续向正方向走一步，也就是加1，如果是负方向，相

当于往回走一步，距离就减1，递推方程为

$dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i - 1][j - k][0] + 1)$ ;

$dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - k][1] - 1)$ ;

如果为'T'

　　依次枚举在第i个位置变化了几步，范围也是0~j,假设变换k步

　　　　1.如果k为奇数，这时就变化成了'F',所以：

$dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i - 1][j - k][0] + 1)$

$dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - k][1] - 1)$

　　　　2.如果k为偶数，这时还是'T'，所以：

$dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i - 1][j - k][1])$

$dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - k][0])$

其中还有一个问题就是和刚开始的方向的无关，不用管朝哪个方向，

只要走的最远的就行了，而且始终有两个相互对立的方向。初始化的

时候 $dp[0][0][0]$ 和 $dp[0][0][1]$ 都得初始化0，这样才可以往哪走都可以。

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=2e5+100;
int dp[120][60][2];
char str[N];
int main() {

  int n,len,ans;
  while(scanf("%s",str+1)!=EOF) {
    scanf("%d",&n);
    memset(dp,-INF,sizeof(dp));//ps:有负数解，注意-inf
    len=strlen(str+1);
    dp[0][0][0]=dp[0][0][1]=0;//注意边界
    for(int i=1; i<=len; i++) {
      for(int j=0; j<=n; j++) {
        for(int k=0; k<=j; k++) {
          if(str[i]=='F') {
            //状态确定后，转移不难理解
            if(k&1) {
              dp[i][j][0]=max(dp[i][j][0],dp[i-1][j-k][1]);
              dp[i][j][1]=max(dp[i][j][1],dp[i-1][j-k][0]);
            } else {
              dp[i][j][0]=max(dp[i][j][0],dp[i-1][j-k][0]+1);
              dp[i][j][1]=max(dp[i][j][1],dp[i-1][j-k][1]-1);
            }
          } else {
            if(k&1) {
              dp[i][j][0]=max(dp[i][j][0],dp[i-1][j-k][0]+1);
              dp[i][j][1]=max(dp[i][j][1],dp[i-1][j-k][1]-1);
            } else {
              dp[i][j][0]=max(dp[i][j][0],dp[i-1][j-k][1]);
              dp[i][j][1]=max(dp[i][j][1],dp[i-1][j-k][0]);
            }
          }
        }
      }
    }
    //目标状态
    ans=max(dp[len][n][0],dp[len][n][1]);
    cout<<ans<<endl;
  }
  return 0;

}

THE END；