动态规划算法之多重组合数（附代码实现）

依依_东望

于 2019-01-29 15:27:05 发布

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分类专栏：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41558413/article/details/86651748

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该博客介绍了如何使用动态规划算法解决从n种有限数量的物品中取出m个的组合总数问题。通过建立递推关系，提出O(nm^2)时间复杂度的解决方案，并通过优化减少到O(nm)。博客包含具体的递推公式和代码实现，最终展示运行结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述
有n种物品，第i种物品有a_i个。不同种类的物品可相互区分但相同种类的无法区分，从这些物品中取出m个，有多少种取法？

限制条件
1≤n≤1000
1≤m≤1000
1≤a_i≤1000

输入
n=3
m=3
a={1,2,3}

输出
6

建立递推关系
用dp[i][j]表示从前I种物品中取出j个的组合总数，我们可将问题这样分解：若要从前i种物品中取出j个，则需从前i-1种物品中取出j-k个，再从第i种物品中取出k个即可（取法只有一种），由此可得到如下递推关系：
递推关系式
显然直接计算此式的时间复杂度为O（nm²)，则可重复利用计算的结果将dp方程压缩。
当j>a[i-1]时，由上式可得：
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+…dp[i-1][j-a_i-1]
dp[i][j-1]=dp[i-1][j-1]+…+dp[i-1][j-1-a_i-1]
则结合上述两式得：
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j-1]-dp[i-1][j-1-a_i-1]

代码实现

#include <iostream>
#define MAXN 1000
#define MAXM 1000
int n,m;
int a[MAXN];
int dp[MAXN+1][MAXM+1];
int

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