HDU 4135 Co-prime （容斥原理学习）

最新推荐文章于 2024-08-17 03:37:55 发布

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分类专栏：数论基础

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感觉公式和证明好高深，百度百科上的东西只能看懂简介和定义

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 ^[1]

简介

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

定义

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C） ^[2] 。

例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

（摘自百度百科）

然后找了两道小学奥数题做了做，感觉有那么点意思，证明目前阶段还是看不太懂。。

HDU - 4135

这道题看了大佬的思路，因为数太大，逐个遍历必定超时

解题思路：

第一步：求出n的质因子：2,3,5；

第二步：(1,m)中是n的因子的倍数当然就不互质了(2,4,6,8,10)->n/2 6个,(3,6,9,12)->n/3 4个,(5,10)->n/5 2个。

如果是粗心的同学就把它们全部加起来就是：6+4+2=12个了，那你就大错特错了,里面明显出现了重复的,我们现在要处理的就是如何去掉那些重复的了！

第三步：这里就需要用到容斥原理了，公式就是：n/2+n/3+n/5-n/(2*3)-n/(2*5)-n/(3*5)+n/(2*3*5)

上述公式有一个特点：n除以奇数个数相乘的时候是加，n除以偶数个数相乘的时候是减。我这里就写下用队列数组如何实现吧：我们可以把第一个元素设为-1然后具体看代码如何实现吧！

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
long long z[100005];//保存素因子
long long x[1000005];//保存被除数
long long cnt;
void getz(long long n)//分解素因子
{
    cnt = 0;
    for(long long i = 2; i * i <= n; i ++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            z[cnt ++] = i;
            while(n % i == 0)
            {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if(n != 1) z[cnt ++] = n;
}
long long getx(long long n)
{
    long long sum = 0;
    long long cnt1 = 0;
    x[cnt1 ++] = -1;
    for(long long i = 0; i < cnt; i ++)
    {
        long long k = cnt1;
        for(long long j = 0; j < k; j ++)
            x[cnt1 ++] = x[j] * (-1) * z[i];
    }
    for(long long i = 1; i < cnt1; i ++)
        sum += n / x[i];
    return sum;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    long long a, b, n;
    int cas = 1;
    while(t --)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n);
        getz(n);
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++, b - getx(b) - (a - 1 - getx(a - 1)));
    }
    return 0;
}