树状数组的分析

参考https://blog.youkuaiyun.com/Small_Orange_glory/article/details/81290634
https://blog.youkuaiyun.com/bestsort/article/details/80796531
https://blog.youkuaiyun.com/guhaiteng/article/details/52138756

C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例

如图可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

将C[]数组的结点序号转化为二进制

1=(001)      C[1]=A[1];

2=(010)      C[2]=A[1]+A[2];

3=(011)      C[3]=A[3];

4=(100)      C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101)      C[5]=A[5];

6=(110)      C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)      C[7]=A[7];

8=(1000)    C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

C[i]=A[i-2^ k+1]+A[i-2^k+2]+…A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

换一种巧妙方式标示2^k(k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）
比如说t为110时k应该为1这是怎么做呢？？
用t&-t

int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
//例如 :
// t=6（0110） 此时 k=1
//-t=-6=(1001+1)=(1010)
// t&(-t)=(0010)=2=2^1

你可以用几个例子试一下发现是不是很神奇?
所以公式可以写成C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+…A[i];（替换没用的2^k）

利用C[i]中介再好好看看上面的图求A数组前i项和，，
举个例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];

可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

举个例子 i=7; …………………… 111

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];

可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

7(111) sum+=C[7]

lowbit(7)=1 7-lowbit(111)=6(110) sum+=C[6]

lowbit(6)=2 6-lowbit(6)=4(100) sum+=C[4]

lowbit(4)=4 4-lowbit(4)=0(000)

再举个例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];

可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=C[i];
return ans；
}

单点更新

当我们修改A[]数组中的某一个值时 应当如何更新C[]数组呢？

回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

结合代码分析

void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组

如图：

当更新A[1]时 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

C[1], C[2], C[4], C[8]
写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]
1(001) C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]

做题：
单击传送门移步HDU敌兵布阵

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#define For(a,b) for(int a=0;a<b;a++)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define _mem(a,b) memset(a,0,(b+1)<<2)
#define lowbit(a) ((a)&-(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn =  5*1e4+5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int c[maxn];
void update(int x,int y,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i] += y;
}
int getsum(int x){
    int ans = 0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans += c[i];
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    int n;
    int x,y,z;
    string s;
    cin >> t ;
    for(int j=1;j<=t;j++){
        scanf("%d",&n);
        _mem(c,n);      //初始化数组中前n+1个数为0
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&z);
            update(i,z,n);
        }
        cout <<"Case "<<j<<":"<<endl;
        while(1){
            cin >> s;
            if(s[0] == 'E')
                break;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(s[0] == 'Q')
                cout << getsum(y)-getsum(x-1)<<endl;
            else if(s[0] == 'A')
                update(x,y,n);
            else
                update(x,-y,n);
        }
    }
    return 0;
}

离散化+树状数组求逆序数

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using  namespace std;
typedef  long  long  ll;
const int N=5e5+10;
 
struct  node{
  int val;
  int pos;
}p[N];
 
int n,bit[N],a[N];
 
bool cmp(const node&a, const node& b){
  return a.val<b.val;
}
 
void add(int i){
  while(i<=n){
    bit[i]+=1;
    i+=i&-i;
  }
}
 
int sum(int i){
  int s=0;
  while(i>0){
    s+=bit[i];
    i-=i&-i;
  }
  return s;
}
 
void solve(){
  for(int i=1; i<=n; i++){
    scanf("%d",&p[i].val);
    p[i].pos=i;
  }
  sort(p+1,p+n+1,cmp);//排序
  for(int i=1; i<=n; i++)a[p[i].pos]=i;//离散化，a[i]表示原来排序前第i号位置应该放在a[i]位置上
  ll ans=0;
  for (int i=1; i<=n; i++) bit[i]=0;   //初始化树状数组
  for(int i=1; i<=n; i++){
    add(a[i]);
    ans+=i-sum(a[i]);
  }
  printf("%I64d\n",ans);
}
 
int main(){
  while(~scanf("%d",&n)&&n){
    solve();
  }
  return 0;
}

对这一题给出的代码如有疑问参考解释https://blog.youkuaiyun.com/guhaiteng/article/details/52138756