POJ - 3037 Skiing SPFA算法

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本文介绍使用SPFA算法解决POJ-3037题目的方法，该题要求计算从地图左上角到右下角的最短时间，考虑到高度差对速度的影响。SPFA算法通过优化队列实现高效寻路。

POJ - 3037

题目链接：
http://poj.org/problem?id=3037
题目大意：给出了V,R,C分别表示一开始的速度，和这个地区的整个范围，R表示整个地区的高度，C表示整个地区的宽度，现在要求从最左上的点（1,1）到最右下点（R,C）的最小时间是多少，这里有个关系因为每个地方有高度差，所谓速度就等于之前所处的高度的速度乘2^(A-B),A表示之前的位置,B表示的是后来到达的位置

解决方法：SPFA算法
关于SPFA算法：设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。有些像BFS的思想，但是BFS是一旦这个点跑过之后就不能再进入了，而SPFA可以进行多次的入队列操作。SPFA算法可以解决负权环问题，在以后的题目中会有涉及

//本题目有一个规律就是，在找到的最短路径中的总的滑行时间就是从每一个不是（1，1）的点的2^(该点的值-（1，1）点的值)的和，关于验证可以找几组数据尝试一下

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio> 
using namespace std;
#define MAX_INT 11258999068426240000  //这里数据开大一点避免某几个压力数据的操作
struct point
{
    int x;
    int y;
};
queue <point> Q;
int map[101][101],visit[101][101],b[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};//表示在x方向或者是y方向上下一步的进行方向是指向哪里的 
double dist[101][101];
point start;
double spfa(int n,int m,int v)
{
    int i,s,x,y;
    double k;
    __int64 t=1;
    dist[1][1]=0;
    point e={1,1};     //将左上角的首结点放入队列中 
    Q.push(e); visit[1][1]=1;//标记（1，1）点已经是如果队列的元素了，然后进行相应的标记 
    while(!Q.empty())
    {
        e=Q.front(),Q.pop();
        visit[e.x][e.y]=0;//出队列置0 
        s=map[start.x][start.y]-map[e.x][e.y];
        if(s>=0)
		    k=(t<<s)*v;
		else
		    k=1.0/(t<<(-s))*v;
		for(i=0;i<4;i++)
            if(e.x+b[i][0]>0 && e.x+b[i][0]<=n && e.y+b[i][1]>0 && e.y+b[i][1]<=m)//表示在矩阵中，不会超出矩阵的限制范围 
            {
                x=e.x+b[i][0]; y=e.y+b[i][1];
                if(dist[x][y]>dist[e.x][e.y]+1/k)
                {
                    dist[x][y]=1/k+dist[e.x][e.y];
                    if(!visit[x][y])
                    {
                        visit[x][y]=1;//入队列置1 
                        point e1={x,y};
                        Q.push(e1);
                    }
                }
            }
    }
    return dist[n][m];
}
int main()
{
    int i,j,m,n,v;
    double k;
    while(scanf("%d%d%d",&v,&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=m;j++)
            {
                scanf("%d",&map[i][j]);
                dist[i][j]=MAX_INT;
            }
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        start.x=1;start.y=1;
        k=spfa(n,m,v);
        printf("%.2lf\n",k);
    }
    return 0;
}