树链剖分

树链剖分

将树的所有节点按照dfs序组织成线性的链，然后就可以使用线段树来处理这个线性链，这样就可以将原来树上的一些操作转换成线段树上的操作。（注：也可以使用其他数据结构来处理，比如树状数组。到底用什么需要视情况而定，这里附上我之前一篇关于树状数组的博文：树状数组）

简要描述：

1.由于子树中所有节点的编号都是连续的，所以对子树的操作就可以直接转换成对线段树中的一个区间的操作。

2.如果要对从u到v的链进行操作，可以将这条链拆分成一些重链的一部分，而重链上的所有节点的编号都是连续的，所以对从u到v的链的操作就可以转换成对线段树中多个区间的操作。

题目：P3384 树链剖分

#include <bits/stdc++.h>
#include<cstring>
#define L(x) (x<<1)
#define R(x) (x<<1|1)
#define fori(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define ford(a,b,c) for(int a=c;a>=b;a--)
#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define mem1(x) memset(x,-1,sizeof(x))
using namespace std;
const int M=1e5+100;

struct N
{
    int l,r,v,add;
    int mid()
    {
        return (l+r)/2;
    }
};

N a[M<<2];
vector<int> g[M];
int dfn[M],tot,top[M],f[M],sz[M],son[M],dep[M],w[M],va[M];
int n,m,r,p;


//一下四个函数是线段树的函数（加了延时更新）

void build(int rt,int l,int r)//建立线段树的函数
{
    a[rt].l=l,a[rt].r=r,a[rt].add=0;
    if(l==r)
    {
        a[rt].v=w[l]%p;
        return ;
    }
    build(L(rt),l,a[rt].mid());
    build(R(rt),a[rt].mid()+1,r);
    a[rt].v=(a[L(rt)].v+a[R(rt)].v)%p;
}

void down(int rt)//延时更新的函数
{
    if(a[rt].add)
    {
        a[rt].v+=a[rt].add*(a[rt].r-a[rt].l+1);
        a[rt].v%=p;
        a[L(rt)].add+=a[rt].add;
        a[R(rt)].add+=a[rt].add;
        a[rt].add=0;
    }
}

void update(int rt,int l,int r,int v)//区间修改
{
    if(a[rt].l==l&&a[rt].r==r)
    {
        a[rt].add+=v;return ;
    }
    a[rt].v+=v*(r-l+1);
    a[rt].v%=p;
    if(r<=a[rt].mid())update(L(rt),l,r,v);
    else if(l>a[rt].mid())update(R(rt),l,r,v);
    else
    {
        update(L(rt),l,a[rt].mid(),v);
        update(R(rt),a[rt].mid()+1,r,v);
    }
}

int query(int rt,int l,int r)//区间查询
{
    if(a[rt].l==l&&a[rt].r==r)return (a[rt].v+a[rt].add*(a[rt].r-a[rt].l+1))%p;
    down(rt);
    if(r<=a[rt].mid())return query(L(rt),l,r)%p;
    else if(l>a[rt].mid())return query(R(rt),l,r)%p;
    else return (query(L(rt),l,a[rt].mid())+query(R(rt),a[rt].mid()+1,r))%p;
}


//一下是树链剖分的函数

//dfs1，求出所有点的层数，父亲节点，以该节点为根的子树的节点个数，该节点的重孩子
void dfs1(int s,int fa)
{
    dep[s]=dep[fa]+1;
    sz[s]=1;
    f[s]=fa;
    int ma=-1;
    for(int i=0;i<g[s].size();i++)
    {
        int v=g[s][i];
        if(v==fa)continue;
        dfs1(v,s);
        sz[s]+=sz[v];
        if(sz[v]>ma)
        {
            ma=sz[v];
            son[s]=v;
        }
    }
}

//dfs2，求出所有节点的dfs序号（dfn保存），该节点所在重链的起始节点（top）
void dfs2(int s,int t)
{
    dfn[s]=++tot;
    top[s]=t;
    w[tot]=va[s];  //建线段树时使用
    if(!son[s])return ;
    dfs2(son[s],t);
    for(int i=0;i<g[s].size();i++)
    {
        int v=g[s][i];
        if(v==f[s]||v==son[s])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

//对以x为根的子树的操作，直接转换成线段树中一个区间的操作

int getsum1(int x)
{
    return query(1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1)%p;
}

void modify1(int x,int z)
{
    update(1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1,z);
}


//对从x到y的链的操作，转换成对一些重链的一部分的操作，
//由于重链中节点编号是连续的，又可以把这些操作转换成线段树中一些区间的操作

int getsum2(int x,int y)
{
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
            swap(x,y);
        ans+=query(1,dfn[top[x]],dfn[x]);
        ans%=p;
        x=f[top[x]];
    }
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    ans+=query(1,dfn[y],dfn[x]);
    return ans%p;
}

void modify2(int x,int y,int z)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        update(1,dfn[top[x]],dfn[x],z);
        x=f[top[x]];
    }
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    update(1,dfn[y],dfn[x],z);
}

int main()
{
    int op,x,y,z;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",va+i);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }

    dfs1(r,r);
    dfs2(r,r);
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        scanf("%d",&op);
        switch(op)
        {
            case 1:
                scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
                modify2(x,y,z);
                break;
            case 2:
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d\n",getsum2(x,y));
                 break;
            case 3:
                scanf("%d%d",&x,&z);
                modify1(x,z);
                break;
            case 4:
                scanf("%d",&x);
                printf("%d\n",getsum1(x));
                break;
        }
    }
    return 0;
}