MATLAB学习------2019/7/13_(7:13,j)matlab-优快云博客

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最小费用最大流问题
（）
1. 定义
前提：在给定网络 $D = (V, A, C)$ 中，每一弧 $(vi,vj)∈A(v_{i},v_{j}) \in A$ 上，除了已给容量 $c_{ij}$ 外，还有费用 $b(vi,vj)≥0b(v_{i},v_{j}) \geq 0$ (简记为 $b_{ij}$ ).
问题：求一个从出发点 $v_{s}$ 到收点 $v_{t}$ 的最大流，使流的总输送费用 $∑(vi,vj)∈Abijfij取最小值。\sum_{(v_{i},v_{j})\in A}{b_{ij}f_{ij}}取最小值。$
化为线性规划模型：
$\sum_{(v_{i},v_{j})\in A}{b_{ij}f_{ij}} \\$
$s_{.}t_{.}=\left\{ \begin{aligned} 0 \leq f_{ij} \leq c_{ij},\quad\forall(v_{i},v_{j}) \in A \\ \\ \sum_{j:(v_{i},v_{j})\in A}{f_{ij}}-\sum_{j:(v_{j},v_{i})\in A}{f_{ji}}=d_{i} \end{aligned} \right.$
式中：
$d_{i} =\left\{ \begin{aligned} v(f_{max}),i=s \\ -v(f_{max}),i=t \\ 0,i\neq s,t \end{aligned} \right. \\ \quad \text{$v(f_{max})$为最大流的流量}$
2.求最小费用流的一种迭代方法
步骤：
（1）求从发点到收点的最小费用通路 $μ(s,t)\mu(s,t)$
（2）对该通路 $μ(s,t)\mu(s,t)$ 分配的最大可能流量
$\bar{f}=\mathop{min} \limits_{(v_{i},v_{j})\in \mu(s,t)} \{c_{ij}\},$
并让通路上的所有边的容量相应减少 $fˉ\bar{f}$ .这时，对于通路上的饱和边，其单位流费用改为 $∞\infty$
（3）做该通路 $μ(s,t)\mu(s,t)$ 上所有边 $v_{i},v_{j}）$ 的反向边 $v_{j},v_{i}）$ 令：
$c_{ij}=\bar{f},\quad b_{ji}=-b_{ij}$
（4）重复步骤（1）（2）（3）直至从发点到收点全部流量==指定的 $v_{f}$