视觉SLAM十四讲理论与实践习题（二）

2 熟悉Eigen矩阵运算

1. $x$有解且唯一$\iff$ $r(A)=r(A|b)=n$
2. 首先，将方程组未知数系数通过消元变换为上三角矩阵。
   其次，使用回带法，根据上三角矩阵特点，得出方程的解
3. QR方法是用于求解矩阵所有特征值的算法，QR分解就是把矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵。
4. Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的。Cholesky分解法又称平方根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三角分解法的变形。

#include <iostream>

using namespace std;

#include <ctime>
// Eigen 核心部分
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等）
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

#define MATRIX_SIZE 100

int main(int argc, char** argv) {
    Matrix<double, Dynamic, Dynamic> matrix_NN
        = MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE);
    matrix_NN = matrix_NN * matrix_NN.transpose();  // 保证半正定
    Matrix<double, Dynamic, 1> v_Nd = MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE, 1);
    VectorXd x(100);

    // 通常用矩阵分解来求，例如QR分解，速度会快很多
    x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);
    cout << "x = " << x.transpose() << endl;

    return 0;
}

3 几何运算练习

#include <iostream>
#include <vector>

#include <algorithm>

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main(int argc, char** argv) {
    Quaterniond q1(0.55, 0.3, 0.2, 0.2), q2(-0.1, 0.3, -0.7, 0.2);
    q1.normalize();
    q2.normalize();
    Vector3d t1(0.7,1.1,0.2),t2(-0.1,0.4,0.8);
    Vector3d p1(0.5,-0.1,0.2);

    Isometry3d T1w(q1),T2w(q2);

    T1w.pretranslate(t1);
    T2w.pretranslate(t2);

    Vector3d p2=T2w*T1w.inverse()*p1;
    cout<<endl<<p2.transpose()<<endl;

    return 0;
}

1. 前置知识：

• 单位正交基
• 向量的坐标：设${\eta }_1,{\eta }_2,...{\eta }_k$是$V$的一个基，则$V$的每个元素$\alpha$都可以用${\eta }_1,{\eta }_2,...{\eta }_k$唯一线性表示：
  $$\alpha =c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2+...+c_k{\eta }_k$$
  称其中的系数$c_1,c_2,...,c_k$为$\alpha$关于基${\eta }_1,{\eta }_2,...{\eta }_k$的坐标，它是一个$k$维向量。
• 正交矩阵：$A{A}^T=I$
  
  对$R{R}^T=I$两边取行列式，有$|R{|}^2=1$。故$R$的行列式等于正负1，认为规定旋转矩阵行列式为1

参考：https://blog.youkuaiyun.com/lhxez6868/article/details/100165447