拉格朗日乘子法求极值和KKT条件讲解及Python代码实现

一、三类问题描述

1.无约束最优化问题

寻找到一个合适的值x，使得f(x)最小：minf(x)
这种没有任何约束的最优化问题是最简单的，解法一般有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等等。

2.有等式约束的非线性

3.有等式和不等式约束的非线性问题

这个式子是说：在满足m个等式 即 hi(x)=0 和 n个不等式 gj(x)<=0 的条件下求f(x)的最小值。

二、拉格朗日乘子法

对于第二类的问题，我们可以将其转化一下：

λi 为拉格朗日乘子。
令 ∂F(x)/∂x=0 , ∂F(x)/∂λ=0 ,该最优化问题即可的解

三、KKT条件

在满足KKT条件时，可以将带有不等式的非线性最优化问题转化为无约束的最优化问题。

并且要满足相关条件：
（1） ∂F(x,λ,μ)/∂x=0∂F(x,λ,μ)/∂x=0 这个条件是计算最优化问题的核心。 使用梯度下降法可以迭代求解。
（2） λi≠0λi≠0 这个条件保证等式约束是成立的，如果该值为零，相当于丢失了约束条件。
（3） μj>=0μj>=0 ,原条件中 gj(x)<=0gj(x)<=0 ,公式加上一个小于等于0的数，符合最小化的方向。如果加一个正数，则与最小化方向相反，所以 这个条件保证了 μjgj(x)μjgj(x) 小于等于0 。
（4） ujgj(x)=0ujgj(x)=0 ,该条件表明只有在该项取最大值时，整个公式取极小值才是真正的极小值。 这个式子最大为0， 所以要求其为0。
进一步思考， 这两项相乘为0，那么至少有一项为0， 如果是 ujuj 为0 ，说明这个条件并未生效，就是说整个函数的极小值并不在这个条件的边界上。 如果gj(x)=0gj(x)=0 极小值说明在这个条件的边界上。
（5）原本的约束条件 gj(x)<=0gj(x)<=0 , hi(x)=0

四、例题讲解

1.等式约束条件

给定椭球：

求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件

求