幂乘 | Power | C/C++实现

本文介绍了一种高效计算大整数幂次方并取模的算法——快速幂算法。通过递归分解幂运算,该算法将复杂度从O(n)降低至O(logn),适用于求解大整数的幂次方取模问题。文章提供了详细的算法解释和AC代码示例。

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问题描述

现有两个整数m、n,求mnm^nmn除以1000000007之后的余数

输入:
输入整数m、n,用1个空格隔开,占1行
输出:
输出mnm^nmn除以1000000007之后的余数,占1行
输出:
1 ≤ m ≤ 100
1 ≤ n ≤ 10910^9109

输入示例

5 8

输出示例

390625

讲解

如果用最直接的方法求xnx^nxn,我们需要进行n - 1次乘法运算,算法复杂度为O(n)O(n)O(n)。不过,x的幂乘可以利用xn=(x2)n/2x^n=(x^2)^{n/2}xn=(x2)n/2的性质,用反复平方法快速求出。可通过下面的递归函数实现

pow(x,n)={1(n=0时)pow(x2,n/2)(n为偶数时)pow(x2,n/2)×x(n为奇数时)pow(x,n)=\begin{cases} 1 &(n=0时) \\ pow(x^2,n/2) & (n为偶数时) \\pow(x^2,n/2) ×x & (n为奇数时) \end{cases}pow(x,n)=1pow(x2,n/2)pow(x2,n/2)×x(n=0)(n)(n)

用反复平方法求x的n次方的程序可像下面这样实现

反复平方法:

pos(x, n)
	if n == 0
		return 1
	res = pow(x * x % M, n/2)
	if n是奇数
		res = res * x % M
	return res

在遇到“求某计算结果除以M之后的余数”这类问题时,可以按下述方法计算:
计算加法时,每相加一次执行一次%M
计算减法时,给被减数加上M之后先算减法后算%M
计算乘法时,每相乘一次执行一次%M,这样做的理由如下:
设a除以M的余数和商分别为ar、aq,b除以M的余数分别为br、bq,则有
a×b=(aq×M+ar)×(bq×M+br)a×b=(aq×M+ar)×(bq×M+br)a×b=(aq×M+ar)×(bq×M+br)
=aq×bq×M2+ar×bq×M+aq×br×M+ar×br=aq×bq×M^2+ar×bq×M+aq×br×M+ar×br=aq×bq×M2+ar×bq×M+aq×br×M+ar×br
=(aq×bq×M+ar×bq+aq×br)×M+ar×br=(aq×bq×M+ar×bq+aq×br)×M+ar×br=(aq×bq×M+ar×bq+aq×br)×M+ar×br

(a×b)%M=ar×br=a%M×b%M(a×b)\%M=ar×br=a\%M×b\%M(a×b)%M=ar×br=a%M×b%M
除法更加复杂一些,这里不详细说明,具体可通过费马小定理(质数相关的定理)求解。

反复平方法中,递归函数的参数n逐次减半,因此算法复杂度为O(logn)O(logn)O(logn)

AC代码如下

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long llong;
typedef unsigned long long ullong;

llong mod_pow(ullong x, ullong n, ullong mod) {
	ullong res = 1;
	while(n > 0) {
		if(n & 1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}

int main(){
	ullong m, n;
	cin>>m>>n;
	cout<<mod_pow(m, n, 1000000007)<<endl;
	
	return 0;
}
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