P1880 石子合并

石子归并最简单的情况是一排石子，典型的区间dp问题。dp[i][j]的含义是区间[i，j]合并之后的最大或最小花费

转移方程：dp[i][j]=max/min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+val(i,j))

对于区间[i，j]，它可以由区间[i，k]和区间[k+1，j]合并而来，合并时，要加上整个区间的花费，花费可以使用前缀和记录。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int inf=1e9+7;
const int maxn=105;

int sum[maxn];
int dp1[maxn][maxn];//最大花费
int dp2[maxn][maxn];//最小花费

int main()
{
    int n,tp;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)//前缀和
    {
        scanf("%d",&tp);
        sum[i]=sum[i-1]+tp;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)//枚举长度
    {
        for(int j=1,k=i+j;k<=n;j++,k++)//起点和终点
        {
            dp2[j][k]=inf;
            for(int l=j;l<k;l++)//中间点
            {
                dp1[j][k]=max(dp1[j][k],dp1[j][l]+dp1[l+1][k]+sum[k]-sum[j-1]);
                dp2[j][k]=min(dp2[j][k],dp2[j][l]+dp2[l+1][k]+sum[k]-sum[j-1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n%d\n",dp1[1][n],dp2[1][n]);
    return 0;
}

洛谷的这题是环形的，比一排的情况要复杂一点点。

链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1880

思路：为了方便，可以直接把前缀和数组开两倍，这样就可以用段来表示环。跟前面的方法一样，不同的是最后不是dp[1][n]了，即起点可以是环内任意一点，如果起点为i，那么终点就是i+n-1。枚举求一下极值。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int inf=1e9+7;
const int maxn=205;

int num[maxn];
int sum[maxn];
int dp1[maxn][maxn];//最大花费
int dp2[maxn][maxn];//最小花费

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&num[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+num[i];
    }
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1]+num[i-n];
    }
    for(int i=1;i<n;i++)//枚举长度
    {
        for(int j=1,k=i+j;k<2*n;j++,k++)//起点和终点
        {
            dp2[j][k]=inf;
            for(int l=j;l<k;l++)//中间点
            {
                dp1[j][k]=max(dp1[j][k],dp1[j][l]+dp1[l+1][k]+sum[k]-sum[j-1]);
                dp2[j][k]=min(dp2[j][k],dp2[j][l]+dp2[l+1][k]+sum[k]-sum[j-1]);
            }
        }
    }
    int ansmin=inf,ansmax=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ansmin=min(ansmin,dp2[i][i+n-1]);
        ansmax=max(ansmax,dp1[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d\n%d\n",ansmin,ansmax);
    return 0;
}