爬楼梯

题目描述:
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1:

输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2:

输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
4.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
5.  1 阶 + 2 阶
6.  2 阶 + 1 阶

题目来源:
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

分析:

子状态:跳一级、跳两级
f(n):还剩 n 级
n级台阶:第一步有 2 种,跳一级、跳两级
	跳 1 级:剩余 f(n-1)
	跳 2 级:剩余 f(n-2)
	所以:f(n) = f(n-1) + f(n-2)

初始状态:
f(1) = 1;
f(2) = 2;
...
f(i) = f(i-1) + f(i-2);
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

代码:

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 0)
            return 0;
       else if (n == 1)
           return 1;
        
        int first = 1;
        int second = 2;
        int thrid = 3;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            thrid = first + second;
            first = second;
            second = thrid;
        }
        return second;
    }
}

通过测试用例:
在这里插入图片描述

### 动态规划实现爬楼梯问题 爬楼梯问题的核心思想是动态规划,其本质与斐波那契数列密切相关。对于给定的 `n` 阶台阶,每次可以爬 1 阶或 2 阶,最终到达楼顶的不同方法数等于前一步骤的解之和。 #### 方法一:使用数组存储中间结果 此方法通过数组来保存每一步的结果,时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度也为 $O(n)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; // 爬到第1阶有1种方法 dp[2] = 2; // 爬到第2阶有2种方法 for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 当前阶的方法数等于前两阶之和 } return dp[n]; } } ``` #### 方法二:优化空间复杂度 为了减少空间占用,可以仅使用两个变量记录前两步的结果,从而将空间复杂度优化至 $O(1)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int prev = 1, curr = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { int temp = curr; curr = prev + curr; // 计算当前阶的方法数 prev = temp; // 更新前一个值 } return curr; } } ``` #### 方法三:公式法(基于斐波那契数列) 利用斐波那契数列的通项公式,直接计算出结果,时间复杂度为 $O(1)$,但需要注意精度问题。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { double sqrt5 = Math.sqrt(5); double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1); // 使用斐波那契公式 return (int) ((fibN - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5); } } ``` 以上代码实现了不同的解决方案,包括动态规划、空间优化以及数学公式法[^2]。 --- ### 相关问题
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值