用树状数组代替平衡树

最新推荐文章于 2024-01-19 11:43:04 发布
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分类专栏： 奇奇怪怪的想法
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那天我在做 USACO 的某道题的时候突发奇想用树状数组代替平衡树

（但是这似乎不是我首创的 idea）

（不过貌似用的人很少）

大体做法就是靠二分+树状数组，单次操作复杂度 \( O( log^2 n ) \)

虽然复杂度比 Treap 高了一点，但是代码短呀！

（但是我不打算贴代码了 QWQ 因为我懒）

对于不超过 \( 10^5 \) 的长度还是很轻松的

时间宽松的话 \( 5 \times 10^5 \) 也好说

实际上对于 \( 10^6 \) 也可以玄学一点

（不过强烈不建议在正规考试中使用如此骚的操作，除非时限够用）

（但是遇到 CF 评测姬还是可以尝试一下）

bzoj3173【树状数组】【平衡树】
qq_39921637的博客
07-11 236
树状数组解法 个人遇到的问题：虽然知道这种问题首先要倒着处理出依次的真实位置。但是想法错了。。 我认为是倒着处理每个位置的真实位置为：插入的位置+当前位置之后插入位置比当前插入的位置小的数量 结果一直wa 后来找到了一组样例 6 0 1 2 0 3 4 用上面的方法位置结果实际上是错的。 是因为当某一个位置插入之后，当再次插入的位置比之前插入的位置大也会影响之前的位置。 正确方法是把所有位置置1，...
树套树——树状数组套主席树
star_city
07-31 2684
线段树套平衡树是什么脑残东西，复杂度就是假的，O(nlog3n)O(nlog3n)O(nlog^3n)让人感觉非常不靠谱。所以我们为什么不用更好写的树状数组代替线段树，更好写的主席树（权值线段树）代替平衡树呢？而且，不仅是好写，复杂度也是很对的O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog^2n)啊。 我们来简单理解一下树套树是什么： 思想其实很简单，树状数组的每个节点都是一颗权值线段树，并...
用树状数组实现的平衡树
weixin_30721899的博客
10-05 485
一、题目： 洛谷模板 二、思路： 用树状数组实现的平衡树，实现起来很简单，但有很多细节需要考虑。 维护一个权值树状数组，查排名时直接前缀和，前驱、后继都很简单。比较难的是已知排名求值，需要倍增。 怎么能写二分呢？倍增比二分快几百倍。——LSH 需要离散化，而细节很多，具体看代码。 三、代码： #include<iostream> #include<cstdio> #in...
信心 - 平衡树 - 树状数组
Mys_C_K的博客
12-05 266
题目大意：维护n个集合（不可重），每次区间insert一个数字x或者求区间集合大小之和。 题解：对每个x维护一个set表示当前那些段是空的即可。 #include&lt;bits/stdc++.h&gt; #define rep(i,a,b) for(int i=a;i&lt;=b;i++) #define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1) #define lin...
【模板】二逼平衡树（树套树）【树状数组套线段树】
weixin_34357928的博客
04-15 223
题目描述 被各种毒瘤线段树虐过后突然感觉这道卡了我一万年的树套树很水 （就一道模板题，不想讲了） 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstdlib> #include<cstring> using namespace...
codeforces 1042d Petya and Array 线段树|树状数组|平衡树
KIDGIN7439的专栏
01-21 360
D. Petya and Array time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Petya has an array aa consisting of nn integers. He has learne...
最长上升子序列（LIS）/最长不上升子序列问题算法详解+例题（树状数组/二分优化，看不懂你来打我）
繁凡さん的博客
04-12 4629
目录最长上升子序列一、朴素做法O(2n)O(2^n)O(2n)二、优化做法O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)三、例题引入：P1020 导弹拦截（求最长上升子序列和最长不上升子序列）1.朴素做法暴力O(n2)O(n^2)O(n2)2.树状数组优化O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)3.二分优化O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)四、P4309 [TJOI2013...
多线程从有序数组构建红黑树/排序树
nullpo的博客
10-21 874
前面推导为主，需要完整代码的直接拉倒最后面。 问题描述 需要从一个数据条数约120万-150万，大小约300M+的结构化文件构建一颗红黑树，然后做后续操作，该操作集成于某个大的函数里面，这个函数需要根据不同的文件将上述操作执行上百次。 由于公司的内网服务器是走物理机服务器上虚拟出来的玩意，同一台物理机虚拟出了不知道多少个服务器，每天下午基本都卡到爆炸，打条ls命令能给我响应二十几秒，看似4Ghz*8核的CPU，运行起来就是一坨屎。基本上述构建操作在单线程的情况下，在我笔记本上约2秒结束，而在公司的破机器上得
Mato的文件管理，如果树状数组+莫队TLE了，该如何优化
03-18
还有常数优化，比如用更快的输入输出方法，减少函数调用，使用数组代替STL容器等。 另外，用户提到了二维树状数组和树套树的情况，可能涉及到高维问题。例如引用[1]中的二维树状数组，每个节点也是一个树状数组，...
从原理到实战：树状数组深入应用详解（代码优化与案例分析）
![从原理到实战：树状数组深入应用详解（代码优化与案例分析）]...树状数组与传统的数组相比，在处理大量数据时，尤其是数据频繁更新的情况，具有显著的性能优势。 ## 树状数组的
树状数组整理（4.冒牌平衡树）
00000000
03-31 1180
算是一种应用吧……水过某些题的时候可以一试？ 平衡树一般支持插入、删除、查找、排名、k小、前驱、后继什么的…… 单看插入删除查找，都是离散一下计数就可以做到的；排名可以转化为求比查询元素小的数有多少个；k小也许可以利用排名来搞；至于前驱后继也可以转化为先排名后k小的问题 因为可以离散嘛，不妨直接讨论所有参与操作的数字都在1..n的状况： 前三样加加减减白给的，一个a[1..n]++--搞定
[线段树|平衡树|树状数组]LightOJ - 1087 - Diablo
AimCorder的专栏
06-21 174
1087 - Diablo PDF (English) Statistics Forum Time Limit:2 second(s) Memory Limit:64 MB All of you must have played the game 'Diablo'. It's an exclusive game to play. In this ga...
【Luogu】P3369 【模板】普通平衡树（树状数组）
weixin_34198797的博客
10-30 187
P3369 【模板】普通平衡树（树状数组） 一、树状数组 树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。 这张图总是让很多初学者望而生畏（好吧只是我） 所以在学习它之前，我们来看看线段树。 （现在我默认大家都会线段树） 我们知道如果\(a + b = c\)，则\(b = c - a\)。 所以...
BZOJ 3224 普通平衡树（树状数组）
weixin_34233421的博客
01-08 175
题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=3224 题意：维护以下操作：（1）插入x；（2）删除x(若有多个相同的数，只删除一个)（3）查询x的排名(若有多个相同的数，输出最小的排名)（4）查询排名为x的数（5）求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)（6）求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数) 思路：主要用到使用树状数组...
树状数组（专题）
weixin_45925735的博客
01-05 287
目录： 树状数组模板题求逆序对（离散化）其他题目 模板题 洛谷P3374 #include<bits/stdc++.h> #include<ext/rope> #define ll long long #define inf 0x3f3f3f3f #define endl '\n' #define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0), cout.tie(0) using namespace std; const int
Codeforces 1139F Dish Shopping 树状数组套平衡树 || 平衡树
03-27 191
Dish Shopping 将每个物品拆成p 和 s 再加上人排序。 然后问题就变成了， 对于一个线段(L - R)， 问有多少个(li, ri)满足 L >= li && R >= ri， 这个东西可以直接树状数组套平衡树维护。 但是这个题目有个特殊性，因为排好序之后不会存在 li > L && ri > R的点， 所以可...
树状数组 完成 平衡树功能
2301_76885122的博客
01-19 442
树状数组->平衡树
树套树实现中的感想
weixin_30877227的博客
12-11 54
一个平衡树只需要完成Push，Pop和Order_Of_Key即可以实现所有操作。。并不用都写出来。 勤于更新size域。。 二分边界很重要。。 树状数组比zkw线段树快！！ 一定要写一个好看的遍历函数。你不会愿意和一个丑陋的遍历函数工作一天。。 lz作业写不完了啊！！！！！ 转载于:https://www.cnblogs.com/ljt12...
ACM入门之【平衡树】
辉小歌的博客
04-25 364
有时间补完。 平衡树：就是一个平衡的二叉搜索树。 平衡树的各个操作的时间为：logn 按照对二叉搜索树进行的"操作"可以分为一下几类： 有旋转：AVL、Splay、红黑树。 无旋转: 替罪羊、Treap。 例题: //抄的cnt大佬的代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long int LL; using namespace std; const int N = 100010, INF = 1.
线段树可以用什么算法代替
最新发布
07-19
<think>首先，用户的问题是关于替代线段树的数据结构和算法。用户说：“我想寻找可以替代线段树的数据结构或算法”，并引用了一些内容，但那些引用是关于其他数据结构的讨论。 我的系统级指令包括： - 所有行内数学表达式使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题。 - 参考站内引用，但那些引用不是用户真正的需求，我需要基于用户的问题和我的回答。 用户的问题是基于他们之前的查询，但我没有上下文。用户说：“请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答”，但在这个对话中，这是第一次交互。所以，我应该专注于当前问题。 关键点：用户想寻找替代线段树的数据结构或算法。 从引用中提取相关信息： - 引用[1]：提到线段树的局限性，如不支持高效插入/删除、不适合复杂非数值型数据、不适合高维空间。建议使用其他结构如二维线段树、四叉树、k-d树等。 - 引用[2]：提到RMQ（Range Minimum Query）可以离线替代线段树，但RMQ只能离线。还提到区间乘法等。 - 引用[3]：讨论树状数组与线段树，树状数组的局限性。 - 引用[4]：介绍跳表、Trie树、B树与B+树等高级数据结构。 我需要构建一个结构清晰的回答，帮助用户逐步解决问题。 回答结构： 1. **介绍线段树的局限性**：解释为什么用户可能需要替代品。 2. **列出替代数据结构**：基于引用和知识，提供可能的替代方案。 3. **比较和适用场景**：帮助用户选择适合的结构。 4. **生成相关问题**：在末尾添加相关问题。 使用中文回答。 在回答中，自然地添加引用标识。例如，如果引用某个部分，在末尾添加[^n]。 数学表达式：确保正确使用LaTeX。 - 行内：$...$ - 独立：$$...$$ 单独成段。 最终，生成相关问题。 可能的替代数据结构： - **树状数组（Fenwick Tree）**：适合前缀和查询和更新，但局限性在区间查询。 - **RMQ（Range Minimum Query）**：使用稀疏表或线段树本身，但离线版。 - **其他树结构**：如四叉树（2D）、k-d树（高维）、B树（数据库）。 - 从引用[4]：跳表、Trie树、B树等。 - 还有块状数组（Sqrt Decomposition）、分块等。 逐步回答： 1. **理解需求**：用户想替代线段树，可能因为线段树的缺点。 2. **线段树局限性总结**：基于引用[1]。 3. **替代方案**： - 对于一维区间查询：树状数组、块状数组。 - 对于高维：四叉树、k-d树。 - 对于特定查询：如RMQ用稀疏表。 - 其他：如跳表用于范围查询。 4. **建议**：根据具体场景选择。 5. **相关问题**：生成3-5个相关问题。 确保回答真实可靠。</think>### 替代线段树的数据结构或算法 线段树是一种高效处理区间查询和更新的数据结构，常用于解决一维数组上的区间问题，如区间和、区间最值等。然而，它存在一些局限性：不支持高效的插入和删除操作（因为基于固定数组构建）、不适合处理复杂非数值型数据（如字符串或对象关系）、在二维或更高维空间操作时效率较低（需要更复杂的扩展结构）[^1]。因此，寻找替代方案是合理的。以下我将基于常见场景，逐步介绍可替代线段树的数据结构或算法，并分析其适用性。 #### 1. **理解线段树的局限性** - 线段树在一维区间查询中表现优异，但以下情况可能需要替代方案： - **频繁插入/删除**：线段树需要重建，效率低。 - **高维数据**：如二维平面查询（矩形区域操作），线段树需升级为二维线段树，但实现复杂。 - **特定查询类型**：如区间最小值查询（RMQ），如果操作是离线的（即所有查询已知），则可用更简单结构。 - **非数值数据**：线段树不适合处理对象间关系（如字符串匹配）。 - 这些局限性源于线段树的底层实现，它基于数组索引的二叉树结构，对动态变化不友好[^1]。 #### 2. **替代数据结构或算法** 根据问题类型和场景，以下是常见的替代方案。每个方案都有其优缺点，需结合实际需求选择。 - **树状数组（Fenwick Tree）**： - **适用场景**：一维数组的前缀和查询（如求$[1, i]$的和）和单点更新。它比线段树更简洁、常数更小。 - **优点**：实现简单（代码量少）、空间占用小、更新和查询时间复杂度均为$O(\log n)$。 - **缺点**：不支持高效的区间更新（需差分技巧）、难以处理复杂区间操作（如区间最值或区间乘法）。引用中提到，树状数组在索引设计上基于二进制分解（lowbit操作），但局限性在于多维扩展困难[^3]。 - **示例代码**（Python 实现前缀和查询）： ```python class FenwickTree: def __init__(self, n): self.n = n self.tree = [0] * (n + 1) def update(self, index, delta): while index <= self.n: self.tree[index] += delta index += index & -index # lowbit操作 def query(self, index): s = 0 while index > 0: s += self.tree[index] index -= index & -index return s ``` - **块状数组（Sqrt Decomposition）**： - **适用场景**：一维区间查询（和、最值等）和更新，尤其当数据量较大且操作随机时。 - **优点**：实现简单、易于扩展（如支持插入删除）、常数小。它将数组分为$\sqrt{n}$块，每块维护汇总信息。 - **缺点**：查询和更新时间复杂度为$O(\sqrt{n})$，比线段树的$O(\log n)$慢，但实际中在数据分布均匀时表现好。 - **对比**：当线段树不支持高效插入时，块状数组通过动态分块可部分替代[^3]。 - **稀疏表（Sparse Table）**： - **适用场景**：静态区间最值查询（RMQ），如求$[l, r]$的最小值或最大值。所有查询必须在数据固定后执行（离线）。 - **优点**：查询时间复杂度$O(1)$，空间占用$O(n \log n)$。 - **缺点**：不支持更新（数据不可变）、只适用于特定查询类型（如RMQ）。引用中提到，RMQ可以离线替代线段树，但灵活性不足[^2]。 - **数学基础**：预处理使用动态规划，存储所有长度$2^k$的区间最值。查询时，区间$[l, r]$可分解为两个重叠区间： $$ \min(\text{st}[l][k], \text{st}[r - 2^k + 1][k]), \quad \text{其中} \ k = \lfloor \log_2(r - l + 1) \rfloor $$ - **高维结构（如四叉树、k-d树）**： - **适用场景**：二维或更高维空间查询（如矩形区域操作、点查询）。线段树在一维高效，但高维时需升级，而四叉树等更直接。 - **优点**： - **四叉树**：适合二维平面划分（如图像处理），查询时间复杂度$O(\log n)$。 - **k-d树**：用于多维数据（如k维空间最近邻搜索），支持动态插入。 - **缺点**：实现复杂、空间开销大。引用[1]指出，线段树不适合高维操作，建议使用这些结构[^1]。 - **示例**：在GIS系统中，k-d树用于快速范围查询。 - **其他高级数据结构**： - **跳表（Skip List）**：适用于有序列表的区间查询（如范围搜索）。优点：支持动态插入/删除，查询时间$O(\log n)$；缺点：随机性导致性能不稳定。引用[4]提到跳表在数据库索引中的应用[^4]。 - **B树/B+树**：适合磁盘存储的大量数据（如数据库索引），支持高效范围查询和更新。优点：平衡树结构，减少I/O操作；缺点：内存中不如线段树高效[^4]。 - **Trie树**：处理字符串相关区间查询（如前缀匹配）。优点：高效处理非数值数据；缺点：空间占用大[^4]。 #### 3. **选择建议：如何决策** - **一维数值数据**： - 如果查询简单（如前缀和）：优先树状数组。 - 如果数据静态（无更新）：用稀疏表。 - 如果支持动态操作：块状数组或跳表。 - **高维数据**：直接使用四叉树（2D）或k-d树（k维）。 - **非数值数据**：Trie树或哈希表结合其他结构。 - **整体原则**：线段树在复杂区间操作（如区间加法和乘法混合）中仍强大，但若场景简化，替代结构可减少开销。引用[2]强调，线段树在区间乘法等操作中难以被完全替代[^2]。 #### 4. **总结** 替代线段树的结构取决于具体需求：树状数组适合一维前缀操作，块状数组支持动态性，稀疏表处理离线RMQ，高维结构如四叉树扩展维度。线段树在灵活性和功能上仍强大，但通过组合其他结构（如树状数组 + 差分），可优化性能。建议在实际应用中测试基准数据以选择最佳方案[^3][^4]。
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