字符串2——manacher与PAM

Manacher:

本质上与kmp无异，只是因为回文串的性质在具体操作上与kmp相比有较大区别

思想：充分利用已知信息

不妨假设我们已经求出了以id为中心的回文串长度为len[id](包括id)，且他是所有以得到信息中的lenmax=id+len[id]最大的,即他是能够延伸到最右边的回文中心，那么我们对于x>id，只需要分类讨论即可

1.x>=lenmax,我们只需要直接向右延伸

2.id<x<lenmax，我们直接利用已知信息（这个留给读者自己考虑），然后在向右延伸

综上由于lenmax的递增性，时间复杂度就为O(n)

代码：他咕了

PAM：

类比后缀自动机.....

我们考虑一个dfa

定义转移函数trans(s,c)表示在字符串s（某个状态）两边加上字符c所到的状态

由于回文串的长度有可能奇数也有可能是偶数

所以我们事先要考虑两个特殊点，即一个长度为0的节点，一个长度为-1的节点（为了方便——初始节点）

首先他与SAM不同的是，他是一颗树（不管有向边），且每一个节点仅仅对应一个原串的回文子串

结论：一个串s本质不同的回文子串的个数显然不会超过len(s)个

证明：考虑数学归纳法

对于串s,考虑在他后面加上字符c，那么最多会新增的回文子串必然是以新加入的c为结尾的最长回文后缀，考虑其正确性，由于非最长回文后缀必然可以由最长回文后缀对称翻转到串s中，所以其一定已经在串s中出现过。

证毕

构造：

首先对于字符串s我们考虑我们已经构造出了1....i的PAM，我们考虑在末尾加入字符c=s[i+1]

首先我们要找到以i+1为结尾最长回文子串，不妨假设s[l...i+1]为回文子串，那么根据回文串的性质s[l+1...i]也是回文子串（回文串的性质贯串PAM始终）

所以我们要找到以i结尾的最长回文子串且满足他的前驱为c

我们是不是还没有考虑fail指针？？？

fail[s]表示状态s(字符串)所指向的最长回文后缀

没错，这样我们就只需要沿着fail指针往上暴力跳就行了

复杂度对吗？

我们考虑势能分析

由于找以i结尾的最长回文子串且满足他的前驱为c的时间与找次长回文子串且满足他的前驱为c的时间复杂度同阶

所以我们只考虑第一个问题，首先定义len_max[i]表示以i结尾的最长回文串，那么我们显然有一个性质

len_max[i]+1>=len_max[i+1],所以就证完了

然后我们分析一下：

他能够整合一个串中的回文子串，而且关于字符串的性质（什么前缀后缀之类的）也能用fail指针来维护

比较优良的就在于他是一棵树,可操作空间大

至于具体用处，题目比较少，方法比较单调，我也不知道有什么广泛的应用

[APIO2014]回文串

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mk(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=3e5+10;
char s[N];
int ch[N][26];
int last,l,cnt;
int fail[N];
vector<int>e[N];
ll len[N],sum[N];
ll ans;
//1-odd 2-even
void make_PAM(int i,char c)
{
    int now=last;
    while (s[i-1-len[now]]!=c) {now=fail[now];}
    if (!ch[now][c-'a']) {
    ch[now][c-'a']=++cnt;
    len[cnt]=len[now]+2;
    sum[cnt]=1; 
    last=cnt;
    if (now==1) { 
    fail[cnt]=2;
    }
    else {
    now=fail[now];
    while (s[i-1-len[now]]!=c) {now=fail[now];}
    fail[cnt]=ch[now][c-'a'];		
    }
    }
    else {
    now=ch[now][c-'a'];
    sum[now]++;
    last=now; 
    }
}
void init()
{
    last=cnt=2; 
    fail[2]=1;
    len[2]=0; len[1]=-1;
}
void dfs(int now)
{
    int l=e[now].size();
    for (int i=0;i<l;i++) {
    int u=e[now][i]; 
    dfs(u); 
    sum[now]+=sum[u];
    }
    ans=max(ans,(long long)sum[now]*len[now]);
}
int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    l=strlen(s+1);
    init();
    for (int i=1;i<=l;i++) {
    make_PAM(i,s[i]);
    }
    for (int i=1;i<=cnt;i++) if (fail[i]) e[fail[i]].push_back(i);
    dfs(1);
    printf("%lld\n",ans);
}