Codeforces Round #589 (Div. 2)E. Another Filling the Grid(dp)

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40851016/article/details/101853071

本文介绍了一种通过动态规划解决特定矩阵填充问题的方法。给定一个n×n的矩阵，目标是计算所有可能的方式，使得从1到k的整数能够被放置在矩阵中，每一行和每一列都至少包含一个1。文章详细解释了状态定义、转移方程，并给出了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

E. Another Filling the Grid

题意：

输入 $n (250), k (1 e 9)$
将 $1 - k$ 填入 $n\times n$ 的矩阵，问多少种方案可以使每行每列都有1.

题解：

设 $d p [i] [j]$ 为到第 $i$ 行，有 $j$ 列为1且第 $i$ 行至少有1个1的状态，然后转移就好。

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int ll
#define ll long long
const int mod=1e9+7;
int n,k;
int dp[299][299];
int fac[299],inv[299];
const int N=299;
void init(){
    fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod,inv[i]=(mod-mod/i)*1ll*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
}
int C(int a,int b){return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;}
int poww(int a,int b,int c){
    int ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1)ans=1ll*ans*base%c;
        base=1ll*base*base%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int f[299],g[299];
signed main(){
    ///freopen("tt.in","r",stdin),freopen("tt.out","w",stdout);
    cin>>n>>k;
    init();
    dp[0][0]=1;
    f[0]=g[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=1ll*f[i-1]*k%mod,g[i]=1ll*g[i-1]*(k-1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++){
          int dc=poww(k-1,n-j,mod);
          for(int kk=0;kk<=j;kk++)dp[i][j]=(dp[i][j]+1ll*dp[i-1][kk]*C(n-kk,j-kk)%mod*g[n-j]%mod*(f[kk]+mod-(j==kk)*g[kk]%mod))%mod;
     //     printf("dp[%d][%d]=%d\n",i,j,dp[i][j]);
      }
    cout<<dp[n][n]<<endl;
    return 0;
}