统计学知识回顾（三）

定义

• 在日常生活中我们常常需要做出决策，而我们在做决策时一定要预估事件可能发生的结果及概率。假设检验就是一种判断某个事件发生的可能性时使用的科学方法，它常常是先提出一个假设，即原假设；与之对应的是备择假设。假设检验的作用就是判断原假设成立的概率有多大

p-value

• 在假设检验当中，假设检验的结果通常不是百分之百成立的。我们推断得出的假设往往只在一定概率下成立。用于衡量这一概率的指标就是 p-value，也称作置信水平。它的内涵是衡量一个推断的可信程度

单侧假设

这个概念很容易混淆，此处通过一个案例以表格的形式来展示：

假设	单边检验	双边检验
原假设	药物无效	药物无效
备择假设	药物有负面作用	药物有效

在学习之前，我曾经以为原假设与备择假设之间一定是对立的关系，学习之后我发现其实两者不一定是对立关系，但一定是互斥关系。参考茆诗松的概率论与数理统计一书中假设检验的定义：

理清原假设与备择假设的关系之后，我们可以发现单侧检验与双侧检验之间的区别。以图示为例，单侧检验的备择假设应该是命题1或命题2，而双侧检验的备择假设应该是命题3

Z-统计量 vs T-统计量

• 当样本数量足够大$(z>30)$时，样本抽样均值分布服从正态分布，此时可使用Z-分数表
• 当样本数量很小$(z<30)$时，样本抽样均值分布服从$t$分布，此时应使用$t$分布表

第一类错误

• 即拒绝了正确的原假设

随机变量之差的方差

先列出几个前提条件：

• 若$Z=X+Y$，$E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
• 若$A=X-Y$，$E(A)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)$

等式成立的证明可以用期望的基本计算公式证得。
若 $X与Y$ 之间相互独立，则 ${\sigma }_Z^2={\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2$，证明如下：

$\because {\sigma }_X^2=E(X^2)-E(X{)}^2,$ ${\sigma }_Y^2=E(Y^2)-E(Y{)}^2,$

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),$

$\therefore {\sigma }_Z^2=E[(X+Y{)}^2]-[E(X+Y){]}^2$

$=E(X^2+Y^2+2XY)-[E(X)+E(Y){]}^2$

$=E(X^2+Y^2+2XY)-E(X{)}^2-E(Y{)}^2-2E(X)E(Y)$

$=E(X^2)+E(Y^2)-E(X{)}^2-E(Y{)}^2+2[E(XY)-E(X)E(Y)]$

$={\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2+2Cov(X,Y)$

其中$Cov(X,Y)$是随机变量$X$和$Y$的协方差，若$X$和$Y$相互独立，则协方差为0，得证。当$Z=X-Y$时同理，也可得出相同结论

样本均值之差的分布

由上面得出的结论可以推断出：

${\mu }_{\overline{X}-\overline{Y}}={\mu }_{\overline{X}}-{\mu }_{\overline{Y}}$

${\sigma }_{\overline{X}-\overline{Y}}^2={\sigma }_{\overline{X}}^2+{\sigma }_{\overline{Y}}^2$

均值之差的假设检验

流程同单变量均值的假设检验，仅在构造统计量时产生差异