博弈学习（未）

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ACM博弈学习小结

2016年08月10日 00:54:52

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一、心得体会

1.ACM博弈题，不会的时候觉得难于上青天，会的时候觉得没有比博弈更水的题了；

博弈题看到的第一眼觉得是难题，代码敲完顿觉水题。你可能花半个小时去找规律，然后仅花2分钟敲代码。

2.博弈是单人游戏，也可以说是自己跟自己玩，因为“双方都做出最优决策”这一点限制了，最后的结果不取决

于你是谁，不取决于你的智商，只取决于你面对的局面；

3.局面，这是博弈里面最最最重要的东西！！！（所谓SG也是指这一局面的SG），博弈是一种不公平的游戏

因为游戏开始的时候已经结束了，影响你胜负的就是你所面对的局面，因为双方采取最优策略

故而局面必然会以双方当前对自己最优的路径走下去，所以结局已经确定了

4.当你面对一个局面的时候如何做出最优的决策呢？你一定是走到了最后一步才确定了胜负，所以当前的局面

往往需要从最终的局面逆推而来（也就是从一个已知胜负的局面一步步推导其他的局面，有了这样的思想，SG

也就不那么难理解了）

5.关于SG：

入门了博弈的人都知道，博弈里面常常用到一个重要的概念 -- SG。但是SG是什么？你去百度的话会有非常专业的解答，

但是那些所谓的专业绝对让人看的头疼。这里说说我所理解的博弈里面的SG（仅限博弈）

挑程里是这样解释SG值的：

除任意一步所能转移到的子局面的SG值以外的最小非负整数。

仔细体会一下这句话，你会发现，这里对SG值的定义是递归定义的！

当前局面的SG是什么呢？请先去找当前局面的子局面的SG值。

显然，递归是有一个边界的，SG是一种递归，那么它也是有边界的，

不难发现，它的边界是没有子局面的局面（也就无法再转移的局面）

什么样的局面没有子局面呢，也就是胜负已定的局面。在第4点说到，

当前局面的最优策略是从胜负已定的最终局面逆推来的，这里的SG其实也是

说了这些，那么SG到底是什么呢？

联想当年学习递归的一个例子：

f(n) = 1 , n = 1

f(n-1) +1 ,n > 1

这样一个函数是我们学习递归时的经典例子，你说这里的F到底是什么？其实它不过是一个函数而已。

SG也是一样，它只是一个函数而已，函数这个词翻译成英语再翻译成中文，就成了“功能、作用”

那么SG的作用是什么呢？

举一个最简单的例子：

有一堆石头数量为n,两个人轮流从石堆拿{a1,a2,a3,......,ak}个石头，先取完所有石头者胜。

根据前面说的，首先找胜负已定的局面，当n=0的时候，石头被拿完了，败态

那么sg[0] = 0表示面对0个石头的局面者败，然后根据sg的定义，我们可以求出其他局面的sg值

（为了使每种局面确保有可以转移的子局面，我们假设{a1,a2,a3......,ak}里面一定有1，例如假设没有1的话

，假设为{5，6,7}那么局面4没有可以转移的子局面，这样会出现平局的情况，我们后面再说平局）

这样可以求出所有局面的sg值,然后sg的作用出来了~

我们发现，若sg[x] = 0,那么x是败态，这其中很神奇，鶸也说不清楚，只说一下胜态败态的转移

（其实光理解的话可能还是不知道什么是SG，但是看了后面的题目就能理解了并知道怎么用SG找到游戏的胜态败态了）

6.胜态与败态：

之前说了，博弈里面，游戏开始的时候已经结束了，影响你胜负的就是你所面对的局面。

也就是说，这个局面觉得了你的胜负，我们称能让你走向胜利的局面称为胜态，也是必胜态，专业术语也叫P态（积极的英语单词怎么写？）

称让你走向失败的状态称为败态，也是必败态，专业也叫N态（消极的英语单词鶸也不会拼。。。）

有一个很显然的规律：

只要当前状态可以转移到的状态中有一个是败态，那么当前状态就是胜态。

如果当前状态可以转移到的所有状态都是胜态，那么当前状态就是败态。

这两句话互为逆否命题，一眼就看出是对的就不解释了。

可以胜态败态的角度去理解下SG。

7.Nim游戏：

关于这个Nim游戏，百度的话又是一大堆乱七八糟看不下去的东西，

它的最原始的版本大概是说有N堆石头，{a1,a2,a3......,an}表示每堆的数量，两个人轮流选一个石堆拿若干石头（不能不拿），

如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负。

这个游戏有个非常完美的结论：

令 s = a1^a2^a3....^an(^符号表示异或运算)

若 s = 0,则此局面为败态，否则为胜态

对于上面的式子，我们不难发现，当你从一个石堆拿走一些石头（即改变一个ai），一定会发生胜态和败态的转变

胜态一定会转移成败态，败态也一定有策略转移成胜态

当这个结论与SG结合，神奇的事发生

我们发现sg异或和为0的状态也是败态，否则胜态。

另外，很多游戏都可以转变为Nim的形式，例如POJ 1704(挑程上有讲解)

8.关于平局：

我们发现，一个必胜态的获得，必然是因为它可以转移到一个败态，那么是不是说相比于平局我们更倾向于败态呢？

如果有更多的败态，理论上可以转移出更多的胜态，但是孩子别太天真了啊~

博弈将“对敌人的仁慈就是对自己的残忍”这句话发挥的淋漓尽致，当你选择败态的时候，对方却不会傻傻按照你的想法给你转移胜态的

该你输的时候你还是得输，所以，在博弈里的决策，一定要是对自己最有利对对手最不利的策略才是最优策略，、

也就是说，如果实在不能赢，你一定宁可平局，也不要选择败态。例如今年HDU 多校题5754 里面马的情况

9.当初关于博弈看了很多但是都只是似懂非懂，只有做多了题才有更多的·体会

二、博弈做题技巧

做了个专题：点击打开博弈专题

题目其实好多都是做过的原题，不过以前都是自己找规律的，这次就是用SG打表找规律，通过这些题目也算是知道怎么使用SG找规律了

其中的题目大多都是打表找规律，不过也有一些有趣的题目

PS:题目选自kuangbin 的博弈分类：点击打开链接（难度的话，后面的题都蛮简单，前面的题稍难）

1.打表找规律题：

W - A multiplication game

输入n,从1开始,每次乘以2~9的数，谁最先达到n谁胜

直接上代码，其中solve()函数是打表的过程，找完规律之后直接解决不需要solve，不过为了记录自己的思路，打表的代码也保留了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<set>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
败态：
10 - 18
163 - 324
2917 - 5832
综上：
败态：
(9*18^i,18*18^i]
i从0开始
*/
const int N = 100000;
int sg[N+4];
void solve()
{
sg[1] = 0;
for (int i = 2;i <= N;++i)
{
set<int>s;
for (int j = 2;j <= 9;++j)
{
int to = i/j;
if (i%j)to++;
s.insert(sg[to]);
}
int g = 0;
while (s.count(g)) ++g;
sg[i] = g;
}
for (int i = 2000;i <= 9000;++i)
{
cout<<i<<" "<<sg[i]<<endl;
}
}
ll l[10],r[10];
void init()
{
l[0] = 9,r[0] = 18;
for (int i = 1;i <= 9;++i)
{
l[i] = 18LL*l[i-1];
r[i] = 18LL*r[i-1];
}
}
bool loser(ll x)
{
for (int i = 0;i <= 9;++i)
{
if (x>l[i]&&x<=r[i]) return 1;
}
return 0;
}
int main()
{
// solve();
ll n;init();
while (~scanf("%I64d",&n))
{
if (loser(n)) puts("Ollie wins.");
else puts("Stan wins.");
}
return 0;
}

S - A Multiplication Game

S题和W题一样的，不说了

R - 悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者

和S、W的意思也差不多，不过操作从乘法变成了加法，由于数据小，于是也没有找规律，直接打完所有表把规律存在表里就好

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10010;
bool sg[N+4];
int n,m;
void turn(int n)//以败态转移
{
for (int i = 1;i <= m;++i)
{
sg[n+i] = 1;//胜态
}
}
void solve()
{
mem(sg,0);
sg[0] = 0;
for (int i = 0;i <= n;++i)
{
if (sg[i] == 0)//败态
{
turn(i);
}
}
}
int main()
{
int T;cin>>T;
while (T--)
{
cin>>n>>m;
solve();
if (sg[n]) puts("Grass");
else puts("Rabbit");
}
return 0;
}

O - Calendar Game

同样从终态逆推，不过逆推的过程有点麻烦，导致看起来都像模拟了。。。

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
bool isleap(int y)
{
if (y%400==0||(y%4==0&&y%100!=0)) return 1;
else return 0;
}
struct Date
{
int y,m,d;
Date()
{
y = 2001,m = 11,d = 4;
}
Date(int y,int m,int d):y(y),m(m),d(d){}
bool operator == (const Date &a) const
{
return y==a.y&&m==a.m&&d==a.d;
}
bool operator < (const Date &a) const
{
if (y==a.y)
{
if (m == a.m) return d<a.d;
return m<a.m;
}
return y<a.y;
}
Date sub()
{
d--;
if (d == 0)
{
--m;
if (m == 0)
{
m = 12;
d = 31;
y--;
}
else if (m==2)
{
if (isleap(y)) d = 29;
else d = 28;
}
else if (m==1||m==3||m==5||m==7||m==8||m==10||m==12) d = 31;
else d = 30;
}
return *this;
}
} ;
map<Date,int>sg;
bool ok(Date x)
{
int m = x.m;
int d = x.d;
if (m == 2)
{
if (isleap(x.y)) return d<=29;
else return d<=28;
}
else if (m==1||m==3||m==5||m==7||m==8||m==10||m==12) return d<=31;
else return d <= 30;
}
void output(Date d)
{
cout<<d.y<<" "<<d.m<<" "<<d.d<<endl;
}
void turn(Date n)
{
Date s = n;
sg[s.sub()] = 1;
Date t = n;
t.m--;
if (ok(t)) sg[t] = 1;
}
void moni()
{
Date d;sg.clear();
sg[d] = 0;//败
// output(d);
Date s(1900,1,1);
for (Date i;;i.sub())
{
// cout<<i.y<<" "<<i.m<<" "<<i.d<<endl;
if (sg[i] == 0) turn(i);
if (i == s) break;
}
}
int main()
{
moni();
int T;cin>>T;
while (T--)
{
Date n;
Sint2(n.y,n.m);Sint(n.d);
if (sg[n]) puts("YES");
else puts("NO");
}
return 0;
}

V - Digital Deletions

题意是对于一个数字形式的字符串，可以把每一位的数字变小（包括0，不为负），可以删去一个0以及0右边的所有数一起删除，两人轮流操作

谁移除最后一个数胜

同样逆推局面推出胜态败态

逆推的时候操作变成将数字变大，或者在后面补0及其他数字，因为长度不超过6，所以还是很简单的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<set>
#include<sstream>
#include<map>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000000;
bool sg[N+4];
int dig[10];
int getdig(int x)
{
int len = 0;
while (x)
{
dig[++len] = x%10;
x /= 10;
}
return len;
}
int turntonum(int bit[],int n)
{
int num = 0;
for (int i = 1,j = 1;i <= n;++i,j*=10)
{
num += bit[i]*j;
}
return num;
}
void solve(int n,int i)
{
if (i == 1)
{
n*=10;
for (int j = 0;j <= 9;++j)
{
// cout<<n+j<<endl;
sg[n+j] = 1;
}
}
else if (i == 2)
{
n*=100;
for (int j = 0;j <= 99;++j)
{
// cout<<n+j<<endl;
sg[n+j] = 1;
}
}
else if (i == 3)
{
n*=1000;
for (int j = 0;j <= 999;++j)
{
// cout<<n+j<<endl;
sg[n+j] = 1;
}
}
else if (i == 4)
{
n*=10000;
for (int j = 0;j <= 9999;++j)
{
// cout<<n+j<<endl;
sg[n+j] = 1;
}
}
}
void turn(int n)//n是必败态,所有n可以转移到的状态都是必胜态
{
int len = getdig(n);
for (int i = 1;i <= len;++i) //数字变大
{
for (int j = dig[i]+1;j <= 9;++j)
{
int d[10];
memcpy(d,dig,sizeof(d));
d[i] = j;
int x = turntonum(d,len);
// cout<<x<<endl;
sg[x] = 1;
}
}
//加0加数
if (len < 6)
{
n *= 10;//后面加个0
sg[n] = 1;
int d = 5-len;
for (int i = 1;i <= d;++i)
{
solve(n,i);
}
}
}
void fool()
{
sg[0] = 1;
// turn(1);
for (int i = 1;i < N;++i)
{
if (sg[i] == 0) turn(i);
}
}
int main()
{
fool();
string s;
while (cin>>s)
{
if (s[0] == '0') puts("Yes");
else
{
stringstream ss(s);
int n;
ss>>n;
if (sg[n]) puts("Yes");
else puts("No");
}
}
return 0;
}

M - Play a game

大胆猜测，小心求证，自己随便玩几种局面就会发现奇败偶胜（代码略）

int n;
while (cin>>n)
{
if (!n) break;
if (n&1) puts("ailyanlu");
else puts("8600");
}

L - Good Luck in CET-4 Everybody!

依旧简单打表找规律，自己手动找规律也可以，不过为了练习下SG的运用，还是用SG打表（也比手动找规律更快更准）

具体用SG打表找规律的方法代码中见：

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000;
int sg[N+7];
void fool()
{
sg[0] = 0;
for (int i = 1;i <= N;++i)
{
set<int>s;
s.insert(sg[i-1]);
for (int j = 1;j <= 10;++j)
{
int to = i - (1<<j);
if (to < 0) continue;
s.insert(sg[to]);
}
int g = 0;
while (s.count(g)) ++g;
sg[i] = g;
}
for (int i = 1;i <= 70;++i)
{
if (sg[i] == 0) cout<<i<<endl;
// cout<<i<<": "<<sg[i]<<endl;
}
}
int main()
{
// fool();
int n;
while (cin>>n)
{
if (n%3==0)//败
{
puts("Cici");
}
else puts("Kiki");
}
return 0;
}

K - kiki's game

打表找规律，发现当n和m都是奇数的时候必败，打表代码注释了没删除以供参考

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100;
int sg[N+4][N+4];
bool ok(int x,int y)
{
return x>=1&&y>=1;
}
void fool()
{
sg[1][1] = 0;
for (int i = 1;i <= 70;++i)
{
for (int j = 1;j <= 70;++j)
{
if (i == 1&&j == 1) continue;
set<int>s;
if (ok(i-1,j))
{
s.insert(sg[i-1][j]);
}
if (ok(i,j-1))
{
s.insert(sg[i][j-1]);
}
if (ok(i-1,j-1))
{
s.insert(sg[i-1][j-1]);
}
int g = 0;
while(s.count(g)) ++g;
sg[i][j] = g;
}
}
for (int i = 1;i <= 20;++i)
{
for (int j = 1;j <= 20;++j)
{
if (sg[i][j] == 0)//败态
{
cout<<"("<<i<<","<<j<<")"<< endl;
}
}
}
}
int main()
{
// fool();
int n,m;
while (cin>>n>>m)
{
if (n==0&&m==0) break;
if ((n&1)&&(m&1)) puts("What a pity!");
else puts("Wonderful!");
}
return 0;
}

J - 取石子游戏

斐波那契博弈哦，必败态是斐波那契数

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool check(ll x)
{
ll f1 = 1,f2 = 1;
ll f = 2;
while (f <= x)
{
f = f1 + f2;
if (f == x) return 1;
f1 = f2;
f2 = f;
}
return 0;
}
int main()
{
ll n;
while (cin>>n)
{
if (!n) break;
if (check(n)) puts("Second win");
else puts("First win");
}
return 0;
}

I - 邂逅明下

三个变量，找规律的时候不是那么容易，然后说到博弈还有一个特点就是，大胆猜测~

最后发现1~p必败，p+1~p+q必胜

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000;
int sg[N+4];
int n,p,q;
void turn(int n)
{
for (int i = p;i <= q;++i)
{
sg[i+n] = 1;
}
}
void fool()
{
mem(sg,0);
sg[0] = 1;
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
if (sg[i] == 0) turn(i);
}
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
if (sg[i] == 0) cout<<"{"<<i<<"}"<<endl;
}
}
void solve()
{
for (int i = 1;i <= 10;++i)
{
for (int j = i;j <= 10;++j)
{
p = i,q = j;
n = 80;
cout<<p<<","<<q<<":"<<endl;
fool();
cout<<"----------------------------------"<<endl;
}
}
}
int main()
{
// solve();
while (Sint(n) == 1)
{
Sint2(p,q);//fool();
// if (sg[n]) puts("WIN");
// else puts("LOST");
--n;
n%=(p+q);
if (n < p) puts("LOST");
else puts("WIN");
}
return 0;
}

E - Fliping game

找规律，发现当右下角是1的时候必胜

插一句，这个游戏公平吗？是公平的，因为右下角是1的概率是1/2，而其他的石头怎么样不需要考虑^_^

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int T;Sint(T);
while(T--)
{
int n,m;
Sint2(n,m);
int s ;
for (int i = 0;i < n;++i)
{
for (int j = 0;j < m;++j)
{
Sint(s);
}
}
if (s) puts("Alice");
else puts("Bob");
}
return 0;
}

2.Nim 游戏变形：

U - John

Nim游戏的简单变形，特判全部是1的情况：如果全部是1，奇败偶胜，否则就按Nim游戏的异或和为0的是败态

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
//const int N = 100;
//int a[N];
int main()
{
int n;
int T;cin>>T;
while (T--)
{
int s = 0;cin>>n;
bool allone = 1;
for (int i = 1,x;i <= n;++i)
{
Sint(x);
s ^= x;
if (x > 1) allone = 0;
}
if (allone)//奇败偶胜
{
if (n&1) puts("Brother");
else puts("John");
}
else
{
if (s) puts("John");
else puts("Brother");
}
}
return 0;
}

T - Be the Winner

和上面一题一样的规律，完全不一样的游戏却有完全一样的规律

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int n;
while (cin>>n)
{
int s = 0;bool allone = 1;
for (int i = 1,x;i <= n;++i)
{
Sint(x);
s^=x;
if (x > 1) allone = 0;
}
if (allone)//奇败偶胜
{
if (n&1) puts("No");
else puts("Yes");
}
else
{
if (s) puts("Yes");
else puts("No");
}
}
return 0;
}

H - Nim or not Nim?

和今年多校里面的一道博弈题基本一样，规律基本都是一样的，这里是可以把石头分两堆，今年多校的那题（HDU 5795）分三堆一样的原理

直接打表找规律，打表的过程注释以供参考

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
//const int N = 1000;
//int sg[N+6];
//int SG(int st)
//{
// if (sg[st]!=-1) return sg[st];
// set<int>s;
// s.insert(SG(0));
// for (int i = 1;i < st;++i)
// {
// s.insert(SG(st-i));//拿
// s.insert(SG(i)^SG(st-i) );//分
// }
// int g = 0;
// while (s.count(g)) ++g;
// sg[st] = g;
// return sg[st];
//}
//void solve()
//{
// mem(sg,-1);
// sg[0] = 0;
// for (int i = 1;i <= 50;++i)
// {
// cout<<i<<" :"<<SG(i)<<endl;
// }
//}
int SG(int st)
{
if (st == 0) return 0;
if (st%4==0) return st-1;
if (st%4==3) return st+1;
return st;
}
int main()
{
// solve();
int T;cin>>T;
while (T--)
{
int n;
Sint(n);
int s = 0;
for (int i = 1,x;i <= n;++i)
{
Sint(x);
s ^= SG(x);
}
if (s) puts("Alice");
else puts("Bob");
}
return 0;
}

PS:另附HDU 5795代码对比：（表打出来了规律就很简单了）

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
//const int N = 1000;
//int sg[N+5];
//int SG(int st)
//{
// if (sg[st]!=-1) return sg[st];
// set<int>s;
// s.insert(SG(0));
// for (int i = 1;i < st;++i)
// {
// s.insert(SG(st-i));//拿
// for (int j = 1;j+i < st;++j)
// {
// s.insert(SG(i)^SG(j)^SG(st-i-j));//分
// }
// }
// int g = 0;
// while (s.count(g)) ++g;
// sg[st] = g;
// return sg[st];
//}
//void solve()
//{
// mem(sg,-1);
// sg[0] = 0;
// for (int i = 1;i <= 50;++i)
// {
// cout<<i<<": "<<SG(i)<<endl;
// }
//}
int SG(int st)
{
if (st == 0) return 0;
if (st%8 == 0) return st-1;
if (st%8 == 7) return st+1;
return st;
}
int main()
{
// solve();
int T;cin>>T;
while (T--)
{
int n;
Sint(n);
int s = 0;
for (int i = 1,x;i <= n;++i)
{
Sint(x);
s^=SG(x);
}
if (s) puts("First player wins.");
else puts("Second player wins.");
}
return 0;
}

F - Daizhenyang's Coin

我以为算是找规律的题，不过找的不是十进制数的规律，而是二进制数的规律，本来博弈就和二进制有着密不可分的关系

所以找规律的时候也要记得考虑一下二进制（这一点不仅是博弈，记得很多其他地方也用到找二进制数的规律）

不过有文章专门讲解了这一类型的游戏的策略：博弈-翻硬币游戏

这里的规律是如果x的二进制里面1个数为奇数，sg[x]就是2x,否则是2x+1

关于unique去重函数：点击打开链接

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
int getone(int x)//返回二进制1的个数
{
int t = 0;
while (x)
{
if (x&1) ++t;
x>>=1;
}
return t;
}
int SG(int x)
{
if (getone(x)&1) return 2*x;
else return 2*x+1;
}
ll a[111];
int main()
{
int n;
while (cin>>n)
{
ll s = 0;
for (int i = 0;i < n;++i)
{
Sll(a[i]);
}
sort(a,a+n);
n = unique(a,a+n)-a;
for (int i = 0;i < n;++i)
{
s ^= SG(a[i]);
}
if (!s) puts("Yes");
else puts("No");
}
return 0;
}

3.状态转移:

Q - Being a Good Boy in Spring Festival

一般博弈都是问当前的局面是胜态还是败态，这个问如果是胜态，第一步有几种走法

真正理解博弈的会明白，博弈双方对局面做出的转移

当某人面对胜态的时候，他会将胜态转移成败态，

而面对败态的人不管怎么操作，只能将局面由败态转为胜态（不包含平局）

这是因为，如果异或和为0（败态）不管怎么操作都将使异或和变为非0（胜态）

而异或和不为0（胜态），一定有策略将异或和变为0（败态）

所以这题就是找，如果面对的是异或和不为0的胜态，有多少种方案将其变成异或和为0的败态

关于异或，有个很有用的性质：a^a^b = b (即相同的数异或为0)，具体操作看代码

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
将非0态(胜态)转化为0态(负态)有多少种方案
*/
const int N = 100;
int a[N+4];
int s;
bool ok(int x)
{
int ns = s^x;//把x变成更小的数，使状态变为0
if (ns < x) return 1;
else return 0;
}
int main()
{
int n;
while (cin>>n)
{
if (!n) break;
s = 0;
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
Sint(a[i]);
s ^= a[i];
}
if (s == 0) puts("0");
else
{
int sun = 0;
for (int i = 1;i <= n;++i)
{
if (ok(a[i])) ++sun;
}
Pintc(sun,'\n');
}
}
return 0;
}

P - Public Sale

一样的水题打表，不过问的是第一次的选择有哪些，那么枚举第一次的选择，判断子局面是不是败态即可

（也就是只能将败态留给对手）

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N= 2111;
int sg[N];
int n,m;
void turn(int n)
{
for (int i = 1;i <= m;++i)
{
sg[n+i] = 1;
}
}
void fool()
{
mem(sg,0);
sg[0] = 0;
for (int i = 0;i <= n;++i)
{
if (sg[i] == 0) turn (i);
}
}
bool ok(int x)//将此局面给对手，对手能否赢
{
mem(sg,0);
sg[x] = 0;
for (int i = x;i <= n;++i)
{
if (sg[i] == 0) turn(i);
}
if (sg[n] == 0)//对手不能赢
return 1;
else return 0;
}
int main()
{
while (cin>>n>>m)//n 是成本，m是可以加的数
{
fool();
if (sg[n] == 0) puts("none");
else
{
bool first = 1;
for (int i = 1;i <= m;++i)
{
if (ok(i))
{
if (first)
{
printf("%d",i);
first = 0;
}
else printf(" %d",i);
}
}
puts("");
}
}
return 0;
}

4.思维王道

N - Euclid's Game

这题的选择稍多，假设a<b,可以选择对b减去k*a,只要k*a<=b

这里涉及到一个自由度的概念，有些局面是固定的，比如（4,7），它只能按（4,7）-（4,3）-（1,3）的情况走下去

像这样的局面就是没有自由度，操作者只有唯一的选择

对于形如b-a<a的局面，就是没有自由度的局面，操作唯一，所以可以直接模拟

对于形如b-a>a的局面，其实这是必胜的局面

（不要问b-a==a的局面，b是a的倍数显然必胜态）

综合上述规律，直接模拟即可（详解参考挑程310面）：

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
bool moni(int a,int b)
{
bool win = 1;
while(1)
{
if (a>b) swap(a,b);
if (b%a == 0) break;
if (b-a>a) break;
b -= a;
win = !win;
}
return win;
}
int main()
{
int a,b;
while (cin>>a>>b)
{
if (a==0&&b==0) break;
if ( moni(a,b)) puts("Stan wins");
else puts("Ollie wins");
}
return 0;
}

G - Game

非常神奇，和二分图也联系起来了，想清楚了就是Nim游戏变形

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
#define Sint(n) scanf("%d",&n)
#define Sll(n) scanf("%I64d",&n)
#define Schar(n) scanf("%c",&n)
#define Sint2(x,y) scanf("%d %d",&x,&y)
#define Sll2(x,y) scanf("%I64d %I64d",&x,&y)
#define Pint(x) printf("%d",x)
#define Pllc(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#define Pintc(x,c) printf("%d%c",x,c)
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
1. 分成一个二分图
<span style="white-space:pre"> </span>如果可以从A拿卡片到B，连一条从A到B的边。
把所有box编号x满足（(x%3==0&&x%2==1) || x%3==1)这个条件的放左边，其他放右边，不难发现
a) 只有从左边到右边的边或从右到左的边。
b) 所有不能拿卡片出去的box都在左边。
2. 证明左边的box并不影响结果。假设当前从右边的局势来看属于输家的人为了
摆脱这种局面，从左边的某盒子A拿了n张卡片到B，因为B肯定有出去的边，对手
会从B再取走那n张卡片到左边，局面没有变化
3. 于是这就相当于所有右边的box在nim游戏。
*/
int main()
{
int T;cin>>T;
int kas = 0;
while (T--)
{
int n;scanf("%d",&n);
int s = 0;
for (int i = 1,x;i <= n;++i)
{
scanf("%d",&x);
// if ((i%2==1&&i%3==0)) continue;
if ((i%3==0&&i%2==0)||i%3==2) s^=x;
}
printf("Case %d: ",++kas);
if (s) puts("Alice");
else puts("Bob");
}
return 0;
}

B - Gems Fight!

局面的描述比较复杂，使用状态压缩博弈，一样的博弈原理，从终态去逆推当前面对的局面

另写了详细题解： HDU 4778 Gems Fight!(博弈+状压)

C - Mine

这个题才真正让人看到SG的作用，前面说当SG和Nim游戏的异或和的结论结合的时候可能并没有什么感觉

这题就很好的应用了这点，整个棋盘的sg就是每个格子的sg的异或和

另写了详细题解： HDU 4678 Mine (博弈SG+自由度原理)