U - Necklace LightOJ - 1419 （初识 poyla 定理）

链接：Orz

题意：n 个珠子，有 k 种颜色,问：有多少种方法本质不一样的方法填色 （旋转几个相同就是一样的）

题解：poyla定理吧，百度百科上有图：

          

          关于图里面的一些解释 

         （置换群，你就看成有 n 个成员的一个环啥的 ！？）

          1.置换，首先要知道置换是个什么东西

                        上面这个    1   2    3   4   5 

                        到下面这 a1  a2  a3  a4  a5 的映射算一种置换

                       （ 像正方形旋转那种，也可以看成顶点的置换 ）

          2. 循环节数，在一个置换中,有几个循环，像是  1 2 3 4  , { 1,3 }，{ 2, 4}可以互到达的有 2 个,所以循环节数为 2

                                                                                     3 4 1 2

          3. p1,p2,.....,pk ,就是每一步走的步数 （ 一下走 1 步，一下走 2 步什么？）

           

           那么上面那个式子变成了 L = 1 / 步数种数 * （∑ m ^ （每种步数构成的循环节数））

           怎么求这个循环节数呢 {

                     每次走 i 步, 走回原来的位置 ， 需要的次数 cnt 是：每次走 i 步的这样的走 lcm(i, n) / i步数

                     那么在这 cnt 次的走动中,每个踩到的值可以拿出来成一个循环

                    比如  1 2 3 4   { 1， 3 } { 2 , 4 }就是可以拿出来,那么这个置换存在 2 个循环节数

                              3 4 1 2 
                    一共可以走 1 步到走 n 步,他们的循环节数就是 n / cnt ，（cnt 一个循环,n / cnt 个循环节数）

            }

            那么 ans = 1/n * ∑ (m ^ （n/cnt）)

             cnt = lcm(i,n) / i  , n / lcm( i , n) / i  === n * i / lcm (i,n) === gcd(i,n)

            那么 ans = 1/n * ∑ (m ^ （gcd(i,n)）)

            所以有代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
typedef long long ll;

long long gcd(ll a,ll b) {
	return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
long long bigmod(ll a,ll b) {
	ll res = 1;
	while(b) {
		if(b&1) res = res * a % mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return res;
}
int main() {
	int T;
	scanf("%d",&T);
	rep(t,1,T) {
		int n,k;
		long long sum = 0;
		scanf("%d %d",&n,&k);
		rep(i,1,n) {
			sum = (sum + bigmod(k,gcd(i,n))) % mod;
		}
		sum = sum * bigmod(n,mod-2) % mod;
		printf("Case %d: %lld\n",t,sum);
	}
}
/*
   ∑quick(k,gcd(i,n))
  ---------------------
          n
*/

        

 

最后呢 ， poyla 有很多题不只是这一种形式 ， 比如翻转什么的 ！？ HDU --- 3923 Invoker  这个题就包含了翻转,可以试着写一写