欧几里得算法及其扩展

欧几里得算法 求最大公约数GCD:

辗转相除引理:
设数a,b(a>b),可得:

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

  • 证明

设 c=gcd(a,b)
可得 a=xc, b=yc (x,y互质)
又a%b=a-(a/b)*b
其中设q=a/b,上式变为 :a%b=a-qb=xc-q*(yc)
化简为:a%b= (x-qy) c
只需证:y与(x-qy)互质即得证
反证法:
设 y与(x-qy)不互质,即有存在 k=gcd(y,x-qy)>1
可表示为:y=km ;x-qy=kn
把y带入,可得 x-q(km)=kn
可得:x=k(n+qm)
此时我们发现 ,x,y不互质,矛盾

故得证

- 实现

int gcd(int a,int b){  
    return b?gcd(b,a%b):a;  
}  

扩展欧几里得

引理:

对a,b ,一定存在整数x,y使得 ax+by=gcd(a,b)

  • 证明:

当 b=0 时,gcd(a,b)=a,此时 x=1 , y=0
当 b!=0 时,
设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2
又因 a%b=a-a/b*b
则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2
化简得:ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2
因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解
解 x , y 必然存在
得证

- 实现

void gcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}
  • x,y通解形式
    对ax+by=gcd(a,b)
    设t(整数),可得:a(x+bt)+b(y-at)=gcd(a,b)

  • 不定方程通解
    求x,y满足:ax+by=c
    在求得 ax0+by0=gcd(a,b) 带入通解 两边乘以 c/gcd(a,b)
    x=x0+bt/gcd(a,b)
    y=y0-at/gcd(a,b)

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/abbae039bf2a 无锡平芯微半导体科技有限公司生产的A1SHB三极管(全称PW2301A)是一款P沟道增强型MOSFET,具备低内阻、高重复雪崩耐受能力以及高效电源切换设计等优势。其技术规格如下:最大漏源电压(VDS)为-20V,最大连续漏极电流(ID)为-3A,可在此条件下稳定工作;栅源电压(VGS)最大值为±12V,能承受正反向电压;脉冲漏极电流(IDM)可达-10A,适合处理短暂高电流脉冲;最大功率耗散(PD)为1W,可防止器件过热。A1SHB采用3引脚SOT23-3封装,小型化设计利于空间受限的应用场景。热特性方面,结到环境的热阻(RθJA)为125℃/W,即每增加1W功率损耗,结温上升125℃,提示设计电路时需考虑散热。 A1SHB的电气性能出色,开关特性优异。开关测试电路及波形图(图1、图2)展示了不同条件下的开关性能,包括开关上升时间(tr)、下降时间(tf)、开启时间(ton)和关闭时间(toff),这些参数对评估MOSFET在高频开关应用中的效率至关重要。图4呈现了漏极电流(ID)与漏源电压(VDS)的关系,图5描绘了输出特性曲线,反映不同栅源电压下漏极电流的变化。图6至图10进一步揭示性能特征:转移特性(图7)显示栅极电压(Vgs)对漏极电流的影响;漏源开态电阻(RDS(ON))随Vgs变化的曲线(图8、图9)展现不同控制电压下的阻抗;图10可能涉及电容特性,对开关操作的响应速度和稳定性有重要影响。 A1SHB三极管(PW2301A)是高性能P沟道MOSFET,适用于低内阻、高效率电源切换及其他多种应用。用户在设计电路时,需充分考虑其电气参数、封装尺寸及热管理,以确保器件的可靠性和长期稳定性。无锡平芯微半导体科技有限公司提供的技术支持和代理商服务,可为用户在产品选型和应用过程中提供有
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