动态规划---背包问题

最新推荐文章于 2022-03-01 13:41:59 发布

策马奔腾向前冲

最新推荐文章于 2022-03-01 13:41:59 发布

阅读量146

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：背包类dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40597059/article/details/86774202

背包类dp 专栏收录该内容

8 篇文章

订阅专栏

下面讲解一下动态规划中的经典例题---背包问题，其中背包问题又分为0-1背包问题、物品无限背包问题和多重背包问题。

做动态规划习题的时候，最重要的求解过程是列表格，将问题分解为众多子问题。

0-1背包问题

	1	2	3	4
v	2	3	4	5
w	3	4	5	6

其中capacity = 8

将背包问题抽象化（X1,X2,...,Xn，其中Xi取0或1）,vi表示第i个物品的体积，wi表示第i个物品的重量。

建立模型，即求max(w1X1+...+wnXn)

约束条件，v1X1+...+vnXn<=capacity

定义f(i,j):当前背包容量为j,前i个物品的最佳组合

1.包的剩余容量小于当前物品的体积，装不上， f(i,j)=f(i-1,j)

2.包的剩余容量大于等于当前物品的体积，但是装上当前物品也不一定是最优解，f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i])

初始化，当j==0或i==0时f[i][j]=0

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1
2
3
4

void FindMax(int n,int capacity)//动态规划填表
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=capacity;j++)
        {
            if(j<v[i]) //包装不进
                f[i][j]=f[i-1][j];
            else //能装
            {
                if(f[i-1][j]>f[i-1][j-v[i]]+w[i])//不装当前物品重量大
                    f[i][j]=f[i-1][j];
                else
                    f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i];//装前i-1种物品的最优解与当前物品之和的重量大
            }
        }
    }
}

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	3	3	3	3	3	3	3
2	0	3	4	4	7	7	7	7
3	0	3	4	5	7	8	9	9
4	0	3	4	5	7	8	9	10

即f(n,capacity)即为最优解

表格填完，动态规划的时间复杂度就是O(n*capacity)

此时还不知道解的组成，可通过回溯法求出解

void FindWhat(int i,int j)
{
    if(i>0)
    {
        if(f[i][j]==f[i-1][j])//未装入第i个物品
        {
            FindWhat(i-1,j);
            vis[i]=0;
        }
        else if(f[i][j]==f[i-1][j-v[i]]+w[i])//装入了第i个物品
        {
            FindWhat(i-1,j-v[i]);
            vis[i]=1;
        }
    }
}