辣椒油的博客

[题解] HDU 5528 Count a*b 简单容斥+莫比乌斯反演题意:令f(m)f(m)f(m)表示有多少个整数有序二元组(a,b)(a,b)(a,b)满足0≤a,b<m0\le a,b<m0≤a,b<m，且m∤abm\nmid abm∤ab。输入nnn，求g(n)=∑m∣nf(m)(mod264)g(n)=\sum_{m|n}f(m) ( mod2^{64})g(n)=∑m∣n​f(m)(mod264) (也就是用unsigned long longuns

[题解] 可重排列 组合数学现在有 a1a_1a1​个111，a2a_2a2​ 个222， …\dots…，a9a_9a9​个999，求使用其中所有的数字构成的不重复的数字的和是多少。答案对109+710^9+7109+7取模。我们可以先考虑个位取111时，这个111产生的贡献。设n=∑i=19ain=\sum_{i=1}^{9}a_in=i=1∑9​ai​则这个111在个位出现的次数为(n−1)!(a1−1)!a2!a3!…a9! \dfrac{(n-1)!}{(a_1-1)!a_2!a_3!\

[题解]SP7001 Visible Lattice Points 莫比乌斯反演+数论分块题目链接一个点可看见就是它和原点连线没有其他点存在。我们把所有的有序三元组(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)找出来，发现其中gcd(x,y,z)gcd(x,y,z)gcd(x,y,z)相等的有多个，然而只能取一个。设f(n)f(n)f(n)为gcd⁡(x,y,z)=n\gcd(x,y,z)=ngcd(x,y,z)=n的有序三元组个数，g(n)g(n)g(n)为gcd⁡(x,y,z)=n的倍数\gcd(

[题解] SP4191 Sky Code 莫比乌斯反演题目链接这是我做的最水的一道莫比乌斯板题。。。不过这题是我第一次真正用到莫比乌斯反演，之前都是用的莫比乌斯函数的性质。。。我们这里直接定义f(n)f(n)f(n)为a1a_1a1​到ana_nan​中，gcd⁡(a,b,c,d)=n\gcd(a,b,c,d)=ngcd(a,b,c,d)=n的无序四元组个数，g(n)g(n)g(n)为a1a_1a1​到ana_nan​中，gcd⁡(a,b,c,d)=n的倍数\gcd(a,b,c,d)=n的倍数gcd(

[题解] 约数个数和 数论分块+莫比乌斯反演题目链接首先我们需要知道一个结论:d(ij)=∑x∣i∑y∣j[gcd⁡(x,y)==1]d(ij) = \sum_{x|i}\sum_{y|j}\left[\gcd(x,y)==1\right]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​[gcd(x,y)==1]感性理解就是对约数取了个并集。我们对这个式子进行变形:d(ij)=∑x∣i∑y∣j[gcd⁡(x,y)==1]=∑x∣i∑y∣j∑k∣gcd⁡(x,y)μ(k)=∑k∣i,k∣jμ(k)∑x∣i∑y∣

[题解] Bi-shoe and Phi-shoe 欧拉函数题目链接这是到啥b题。然而我wa了5次给出一个数xxx，找到满足φ(n)≥x\varphi(n)\ge xφ(n)≥x的最小正整数nnn。注意，题目中规定了φ(1)=0\varphi(1)=0φ(1)=0。刚开始想用φ\varphiφ的反函数来存，结果wa爆了。从这件事我们可以得到一个结论:没事不要用什么反函数，还不如打暴力。结果暴力比反函数跑得还快hh不过有一点要注意的是，这里不能二分。因为如果a>ba>ba>b

在介绍扩展中国剩余定理之前，让我们先介绍一下中国剩余定理。中国剩余定理中国剩余定理是用来求解一堆线性同余方程组的通解的算法。该算法的时间复杂度是O(方程的个数)O(方程的个数)O(方程的个数)。{x≡a1mod  m1x≡a2mod  m2x≡a3mod  m3.........x≡anmod  mn \left\{\begin{array}{rcl}x\equiv a_1 & {\mod m_1}\\x\equiv a_2 & {\mod m_2}\\x\e

积性函数常用结论(持续更新)一、常用积性函数所谓积性函数，就是指当gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1时，f(ab)=f(a)⋅f(b)f(ab)=f(a)\cdot f(b)f(ab)=f(a)⋅f(b)。常见积性函数:元函数 ϵ(n)=[n==1]\epsilon(n) =[n==1]ϵ(n)=[n==1]恒等函数 1(n)=11(n) = 11(n)=1单位函数 id(n)=nid(n) = nid(n)=n欧拉函数 φ(n)=∏pi∣npiαi(1−1pi)\

[题解] GCD SUM 莫比乌斯反演题意： 求∑i=1n∑j=1ngcd(i,j) \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} gcd\left ( i,j \right ) i=1∑n​j=1∑n​gcd(i,j)方法一：莫比乌斯反演我们直接枚举gcdgcdgcd。∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)=∑d=1n∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)==d]⋅d=∑d=1n∑i=1nd∑j=1nd[gcd(i,j)==1]⋅d=∑d=1nd∑i=1nd∑j=1nd∑k∣gcd(i