学习记录@代码随想录：动态规划part01

学习记录@代码随想录：动态规划part01

理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2.确定递推公式
3.dp数组如何初始化
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组

509. 斐波那契数

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。
该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

题目链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/
动态规划思路：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2.确定递推公式
题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3.dp数组如何初始化
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
4.确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
5.举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

#动态规划
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        #排除
        if n == 0:
            return 0
        #创建 dp 数组
        dp = [0]*(n+1)

        #初始化dp数组
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        #遍历顺序：由前向后，因为后面要用到前面的状态
        for i in range(2,n+1):
            #确定递归公式/状态转移公式
           
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
            print(dp)
        
        return dp[n]

#递归
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n<2:
            return n
        return self.fib(n-1)+self.fib(n-2)

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

题目链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数表示有dp[i]种方法可以爬到楼顶
2.确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
3.dp数组如何初始化
n为正整数，没有n=0的情况
dp[1] = 1，dp[2] = 2
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
5.举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，

即为斐波那契数

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n <=1:
            return n 
        dp = [0]*(n+1)
        dp[1]=1
        dp[2]=2
        for i in range(3,n+1):
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
        return dp[n]

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。
一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

题目链接：https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/
1.确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
2.确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2].
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3.dp数组如何初始化
题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
4.确定遍历顺序
本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
5.举例推导dp数组

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        dp =[0]*(len(cost)+1)
        dp[0]=0
        dp[1]=0

        for i in range(2,len(cost)+1):
            dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
        return dp[len(cost)]

参考链接：https://programmercarl.com/0746.%E4%BD%BF%E7%94%A8%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%8A%B1%E8%B4%B9%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF.html#%E5%85%B6%E4%BB%96%E8%AF%AD%E8%A8%80%E7%89%88%E6%9C%AC