逆元，组合数取模，费马小定理, HDU 6114

原创已于 2025-04-16 11:35:58 修改 · 513 阅读

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#组合数取模 #逆元 #费马小定理 #HDU 6114 #Chess #json

于 2019-04-16 18:52:02 首次发布

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本文深入解析费马小定理，并展示如何利用该定理求解复杂组合数问题，通过实例代码详细说明逆元的概念及求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

json##### 费马小定理(Fermat’s little theorem)

是数论中的一个重要定理，若p是一个质数，而整数a不是p的倍数有a^（p-1）≡1（mod p）, 理解为若a和p互素且p为质数，满足a^（p-1）≡1（mod p）。

定理先放这，现在目标是求

一般的可以做如下转换

在这由里插入图片描述
但是取模对除法不适用故
在这里插入图片描述

逆元：对于a和p（a和p互素），若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

应用:t / a 对 p取模，由于b是a%p的逆元， t / a 对p取模可以转换为t * b %p 转换为乘法了，乘法对求模是适用的，接下来用这个来求解组合数。

求逆元：a^（p-1）≡1（mod p）即a^（p-2）* a≡1（mod p）, 有a%p的逆元为a^（p-2）

求组合数

对p取模，即n! 与 m！% p的逆元，（n-m）！%p的逆元的乘积。用f（x）表示x！，有表达式为f（n）* f（m）^(p-2) * f(n - m) ^ (p -2)对p取模。其中次方可以用快速幂求，而f（x）可以一开始用一个数组保存小于max_num的阶乘，注意是对p取模的阶乘，加上取模完整的表达式为

((f（n）* f（m）^(p-2)) % p * f(n - m) ^ (p -2))%p, 对于乘的过程中可能超过int范围，可以先用long long 转换一下再%p，例如HDU 6114

代码实现如下， solve（a，b）实现的是求得从a个中取b个的组合数对mod取模。


#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100000, mod = 1e9 + 7;
int fac[maxn * 2];

int pow_mod(int a, int b)
{
	int base = a, res = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1) res = (ll) res * base % mod;
		
			base = (ll) base * base % mod;
		b >>= 1;
	}

	return res;
}

int solve(int a, int b)    				//solve()函数求得从a个中取b个的组合数， 对mod取模
{
	int temp = (ll) fac[b] * fac[a - b] % mod;
	int re = (ll)fac[a] * pow_mod(temp, mod - 2) % mod;
	return re;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t;
	cin >> t;
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 200000; i++) fac[i] = (ll)i * fac[i - 1] % mod;
	while(t--)
	{
		int m, n;
		cin >> m >> n;
		cout << (solve(m + n - 1, m) - solve(m + n -1, m - 1) + mod) % mod << endl;
	}
}

json### HDU 6114 Chess

Problem Description

車是中国象棋中的一种棋子，它能攻击同一行或同一列中没有其他棋子阻隔的棋子。一天，小度在棋盘上摆起了许多車……他想知道，在一共N×M个点的矩形棋盘中摆最多个数的車使其互不攻击的方案数。他经过思考，得出了答案。但他仍不满足，想增加一个条件：对于任何一个車A，如果有其他一个車B在它的上方（車B行号小于車A），那么車A必须在車B的右边（車A列号大于車B）。

现在要问问你，满足要求的方案数是多少。

Input

第一行一个正整数T，表示数据组数。

对于每组数据：一行，两个正整数N和M（N<=1000，M<=1000）。

Output

对于每组数据输出一行，代表方案数模1000000007（1e9+7）。

Sample Input

1
1 1

Sample Output


#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
int f[1005];
int n, m;

int pp(int a, int b)
{
	int base = a, ans = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) ans = (ll)ans * base % mod;
			base = (ll)base * base % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int solve(int a, int b)
{
	return (ll)f[a] * pp(f[b], mod - 2) % mod * pp(f[a - b], mod - 2) % mod;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t;
	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i < 1005; i++)
		f[i] = (ll)f[i - 1] * i % mod;

	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> n >> m;
		if (n < m)
			swap(n, m);
		cout << solve(n, m) << endl;
	}
}

json