json##### 费马小定理(Fermat’s little theorem)
是数论中的一个重要定理,若p是一个质数,而整数a不是p的倍数有a^(p-1)≡1(mod p), 理解为若a和p互素且p为质数, 满足a^(p-1)≡1(mod p)。
定理先放这, 现在目标是求
一般的可以做如下转换
但是取模对除法不适用故
逆元:对于a和p(a和p互素),若a*b%p≡1,则称b为a%p的逆元。
应用:t / a 对 p取模, 由于b是a%p的逆元, t / a 对p取模可以转换为t * b %p 转换为乘法了, 乘法对求模是适用的,接下来用这个来求解组合数。
求逆元:a^(p-1)≡1(mod p)即a^(p-2)* a≡1(mod p), 有a%p的逆元为a^(p-2)
求组合数
对p取模, 即n! 与 m!% p的逆元,(n-m)!%p的逆元的乘积。用f(x) 表示x!,有表达式为f(n)* f(m)^(p-2) * f(n - m) ^ (p -2)对p取模。其中次方可以用快速幂求,而f(x)可以一开始用一个数组保存小于max_num的阶乘, 注意是对p取模的阶乘,加上取模完整的表达式为
((f(n)* f(m)^(p-2)) % p * f(n - m) ^ (p -2))%p, 对于乘的过程中可能超过int范围, 可以先用long long 转换一下再%p, 例如HDU 6114
代码实现如下, solve(a,b)实现的是求得从a个中取b个的组合数对mod取模。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100000, mod = 1e9 + 7;
int fac[maxn * 2];
int pow_mod(int a, int b)
{
int base = a, res = 1;
while(b)
{
if(b & 1) res = (ll) res * base % mod;
base = (ll) base * base % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
int solve(int a, int b) //solve()函数求得从a个中取b个的组合数, 对mod取模
{
int temp = (ll) fac[b] * fac[a - b] % mod;
int re = (ll)fac[a] * pow_mod(temp, mod - 2) % mod;
return re;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
int t;
cin >> t;
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 200000; i++) fac[i] = (ll)i * fac[i - 1] % mod;
while(t--)
{
int m, n;
cin >> m >> n;
cout << (solve(m + n - 1, m) - solve(m + n -1, m - 1) + mod) % mod << endl;
}
}
json### HDU 6114 Chess
Problem Description
車是中国象棋中的一种棋子,它能攻击同一行或同一列中没有其他棋子阻隔的棋子。一天,小度在棋盘上摆起了许多車……他想知道,在一共N×M个点的矩形棋盘中摆最多个数的車使其互不攻击的方案数。他经过思考,得出了答案。但他仍不满足,想增加一个条件:对于任何一个車A,如果有其他一个車B在它的上方(車B行号小于車A),那么車A必须在車B的右边(車A列号大于車B)。
现在要问问你,满足要求的方案数是多少。
Input
第一行一个正整数T,表示数据组数。
对于每组数据:一行,两个正整数N和M(N<=1000,M<=1000)。
Output
对于每组数据输出一行,代表方案数模1000000007(1e9+7)。
Sample Input
1
1 1
Sample Output
1
#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
int f[1005];
int n, m;
int pp(int a, int b)
{
int base = a, ans = 1;
while (b)
{
if (b & 1) ans = (ll)ans * base % mod;
base = (ll)base * base % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int solve(int a, int b)
{
return (ll)f[a] * pp(f[b], mod - 2) % mod * pp(f[a - b], mod - 2) % mod;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
int t;
f[0] = 1;
for (int i = 1; i < 1005; i++)
f[i] = (ll)f[i - 1] * i % mod;
cin >> t;
while (t--)
{
cin >> n >> m;
if (n < m)
swap(n, m);
cout << solve(n, m) << endl;
}
}