qq_40206924的博客

学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社。

向量的范数是用来刻画向量大小的一种度量。设映射满足：① 非负性：，当且仅当时，；② 其次性：；③ 三角不等式：。则称映射为上向量的范数。由于一个矩阵可以看做维向量，因此可以按照定义向量范数的方式定义矩阵范数。设表示复数域上全体矩阵构成的线性空间，设函数满足：① 非负性：，当且仅当时，；② 齐次性：；③ 三角不等式：；④ 相容性：。则称为矩阵的范数。...

学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社。

学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社。

若，则矩阵的奇异值称为单奇异值。

学习来源《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社。1.标量函数相对于复向量的梯度。分别代表单位矩阵和零矩阵。2.标量函数的共轭梯度公式。4）类似地，行向量函数。共轭梯度与无约束最优化。2）类似的，标量函数。..................

学习来源《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社。

学习来源《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社。

矩阵分析与应用（15）

学习来源《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社。

学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社 矩阵与向量之间存在相互转换的函数。 定义：一个 向量 的矩阵化函数 是一个将 个元素的列向量转换为 矩阵的算子，即 相反的，若 是一个 矩阵，则 的向量化函数 是一个 向量，其元素是 的元素的字典式排列，即 矩阵元素的字典式排列也称按列堆栈。 根据定义，矩阵化算子和向量化算子有以下关系： 矩阵也可以按行堆栈为行向量，称为矩阵的行向量化，用符号 表示，定义为： 由于矩阵的向量

学习来源《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社。

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 前面学习了一致方程的最小范数解和非一致方程的最小二乘解，现在要寻找一个非一致方程最小二乘解中的具有最小范数的解，这样的解称为非一致方程的最小范数最小二乘解，也称半范数最小二乘解。 对于非一致方程 ，当矩阵 满足条件 时，称矩阵 为 的最小范数最小二乘广义逆矩阵。式中 和 分别是在 和 空间的范数（半范数）； 表示 是非一致方程 的最小二乘解，而 表示 是在所有的最小二乘解中具有最小范数的解。

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社Moore-Penrose 逆矩阵的计算1. 方程求解法第一步：分别求解矩阵方程得到 和 。第二步：计算广义逆矩阵 。若矩阵 为 Hermitian 矩阵，则上述方程可以简化为 的广义逆矩阵 。由此，可以得到两种算法：算法一： 1）计算矩阵 。 2）解矩阵方程 得到矩阵 。 3）计算 的 Moore-Penrose 逆矩阵 。 4）计算矩阵 的 Moore-Penrose 逆矩阵

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 令 表示到向量空间 上的正交投影，即对任意向量 ，有 在空间 上，而 与子空间 正交。对于任意一个 复矩阵 ，令 表示 的值域空间。Moore 证明了矩阵 的广义逆矩阵 必须满足条件上述两个条件称为 Moore 条件，满足 Moore 条件的矩阵 称为矩阵 的Moore 逆矩阵。由于上述条件不方便使用， Penrose 提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件。 令 是任意 矩阵，若 满足以下四个条

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 对于 阶的一般矩阵 ，其秩 可能小于 。那么是否存在某种合适意义下的逆矩阵，使得线性方程组 的解可以用这种逆矩阵表示？ 考虑两个方程显然，两个方程不可能同时为真。也就是说，两个方程相矛盾或非一致。这样的方程称为非一致方程。由此可知，若一个线性方程组中一些方程为真，另一些方程不为真，称这一方程组为非一致方程。因此，为了保证线性方程组有解，要求方程组必须是一致方程。 若矩阵 的行之间存在的闲心关系也存在于向

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 一个 的矩阵称为非奇异矩阵，若它有 个线性无关的列向量和 线性无关的行向量。如果一个矩阵非奇异，那么它必定存在逆矩阵。反之，奇异矩阵肯定不存在逆矩阵。一个 的正方矩阵 满足 时，矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。矩阵 的逆矩阵记为 。 若一个正方矩阵 的所有元素 分别由它们的余子式 代替，然后转置，所得到的矩阵称为 的伴随矩阵，记作 ，即有 若行列式 ，则矩阵 的逆矩阵 存在且唯一。逆矩阵 由下式

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 向量 的所有线性组合的集合称为由 张成（或生成）的子空间（或闭包），记作向量 称为子空间 的张成集（或生成元）。 生成子空间 的线性无关向量 称为子空间 的基向量或简称为基。生成子空间 的基向量的个数称为子空间 的维数，即值得注意的是， 只是子空间 的一组基，并非唯一的基。向量空间 中的任何 个线性无关向量的集合都是 的基。虽然一个子空间可能存在许多组基，但所有的基都具有相同的向量个数。

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 设矩阵 ，把矩阵 的元素按行优先排列成一个列向量称向量 为矩阵 按行拉直的列向量。类似地矩阵 也可以按列优先展开。 设 ，称 为矩阵 的内积。其中： 为矩阵 的迹。 1）交换律： ； 2）其次性： ； 3）分配律： ； 4）非负性： ， 当且仅当 。 对任意一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 根据元素取值方式的不同，向量分为常数向量、函数向量和随机向量。常数向量是元素为常数的向量；函数向量是元素取某个变量的函数值得向量；而随机向量则是元素为随机变量的向量。 设 为向量空间，函数 称为向量 与 的内积，对所有的 ，有： 1） ； 2） ，当且仅当 ； 3） ； 4） ；

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 线性映射本身是一类函数，因此常使用函数的通用符号来表示映射。设 和 是两个向量空间，则： 称为向量空间 到向量空间 的映射，它表示将向量空间 的每一个向量变为向量空间 的一个相对应向量的一种规则，称 为映射 的始集或域；称 为 的终集或上域。 若 且 ，则向量 是 的映射，即 。 可以视为将向量 变换为某个向量 的映射： 。 线性变换 可以用线性方程：

学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达 清华大学出版社 集合通常用花括号表示： ，花括号内为集合 的元素。若集合的元素为有限个，可以在花括号内罗列出所有的元素，如： 。若 是满足某种性质 的元素 的集合，则记为 。 ：表示“对所有 / 对任意 …”； ：表示“ 属于集合 ”； ：表示“ 不是集合 的元素”； ：表示“使得”； ：表示“存在”； ：表示“若有条件 ，则有结果 ”