矩阵分析与应用(8)

最新推荐文章于 2023-11-08 18:11:45 发布

Butterfffly

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分类专栏：矩阵分析与应用文章标签：线性代数

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学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社

一致性方程

对于 $m\times n$ 阶的一般矩阵 $A$ ，其秩 $k$ 可能小于 $min\left \{ m,n \right \}$ 。那么是否存在某种合适意义下的逆矩阵，使得线性方程组 $Ax=y$ 的解可以用这种逆矩阵表示？

考虑两个方程

$x_1+x_2=4$

$3x_1+3x_2=9$

显然，两个方程不可能同时为真。也就是说，两个方程相矛盾或非一致。这样的方程称为非一致方程。由此可知，若一个线性方程组中一些方程为真，另一些方程不为真，称这一方程组为非一致方程。因此，为了保证线性方程组有解，要求方程组必须是一致方程。

1. 定义

若矩阵 $A_{m\times n}$ 的行之间存在的闲心关系也存在于向量 $y_{m\times 1}$ 的对应元素中时，线性方程 $A_{m\times n}x_{n\times 1}=y_{m\times 1}$ 称为一致方程。

2. 定理

1）一线性方程组可以求解，当且仅当这些方程为一致方程。

2）线性方程 $Ax=y$ 是一致的，当且仅当增广矩阵 $\left [ A,y \right ]$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩。

3. 线性方程的解

令 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，具有任意秩。矩阵 $A$ 的广义逆矩阵是一个 $n\times m$ 矩阵 $G$ ，并使得当 $Ax=y$ 为一致性方程时， $x=Gy$ 是线性方程 $Ax=y$ 的解。

4. 矩阵 $A$ 的广义逆矩阵和一致方程 $Ax=y$ 的关系

1）一致方程 $Ax=y$ 对 $y\neq 0$ 有解 $x=Gy$ ，当且仅当 $AGA=A$ 。

2）方程 $Ax=0$ 的解与矩阵 $A$ 的任意行正交，且线性无关。

5. 一致方程的最小范数解

假定线性方程为

$x_1+2x_2=10$

这显然是一个一致方程。如图 1 所示，

图 1

直线 $x_1+2x_2=10$ 上所有的点 $(x_1,x_2)$ 都是方程 $x_1+2x_2=10$ 的解即通解。若希望确定唯一的解，就必须增加某个约束条件，求满足该条件的唯一解。作为约束条件，这里要求得到的解 $x$ 的范数为最小。这样得出的唯一解称为最小范数解。由于 $x$ 的范数最小等同于向量 $x$ 的端点到原点的距离最小，故最小范数解也称为最短距离解。在图 1 中，最小范数解为 $(2,4)$ 。

6. 一般情况下线性方程 $Ax=y$ 的解

令 $n\times m$ 矩阵 $A^{-}$ 是 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的任意一个广义逆矩阵，则

1）齐次方程 $Ax=0$ 的一个通解为 $x=(I-A^-A)z$ ，其中， $z$ 是 $n\times 1$ 任意向量。

2）非齐次方程 $Ax=y$ 为一致方程的充分必要条件为

$AA^-y=y$

3）非齐次方程 $Ax=y$ 的一个通解为

$x=A^-y+(I-A^-A)z$

其中， $z$ 是 $n\times 1$ 任意向量。

7. 伴随矩阵

对于矩阵 $A_{m\times n}$ 和向量 $x_{n\times 1}$ ， $y_{m\times 1}$ ， $\left \langle Ax,y \right \rangle$ 是 $m$ 阶向量空间的内积，记作 $\left \langle Ax,y \right \rangle_m$ 。矩阵 $A_{m\times n}$ 的伴随矩阵用符号 $A_{m\times n}^\#$ 表示，定义为将 $m$ 阶向量空间的内积等价变换为 $n$ 阶向量空间的内积的一个映射，即