Prim算法的最优子结构

证明：
有无向图 $G=(\mathbf{V},\mathbf{E})$，其中 V = { v 1 , v 2 , … , v n } \mathbf V=\{ v_1,v_2,\dots,v_n\} V={v1​,v2​,…,vn​}， E = { e 1 , e 2 , … , e m } \mathbf E=\{ e_1,e_2,\dots,e_m\} E={e1​,e2​,…,em​}.其生成树为 $G^{{}^{\prime }}=(\mathbf{V},{\mathbf{E}}^{{}^{\prime }})$，其中 E ′ = { e t 1 , e t 2 , … , e t n − 1 } \mathbf E^{'}=\{ e_{t_1},e_{t_2},\dots,e_{t_n-1}\} E′={et1​​,et2​​,…,etn​−1​}.
(最优子结构)：
不失一般性，令prim算法指定的初始节点为$v_1$，图$G$有某棵最小生成树$T$，其中与$v_1$相连且边权值最小的节点为$v_a$，对应的边为$e_{1a}=(v_1,v_a)$。将$G$和$T$中$v_1$和$v_a$合并为新的顶点$v_c$，删除边$e_{1a}$，且对于同时与$v_1$和$v_a$相连的节点，保留权值最小的边与$v_c$相连后得到$G_1$和$T_1$。现需证明$T_1$为$G_1$的最小生成树。
设$T_1$不是$G_1$的最小生成树，则存在$T_2$为$G_1$的最小生成树，有$W(T_2)<W(T_1)$。将$T_2$和$T_1$中的$v_c$节点恢复为$v_1$和$v_a$节点，则有$W(T_2)+W(e_{1a})<W(T_1)+W(e_{1a})=W(T)$与$T$为最小生成树矛盾。所以最优子结构成立。