离散积分，相同表达式数组和公式

离散积分是为了解决数列an = f（n），f(n)表达式一致的情况下an的和，我称作离散积分

找一个每一个长度为固定常数a区间和f（n）一样大小的连续函数p（x），p（x）满足下面条件

离散积分法一，可行性要证明，复杂度是f（n）的级数，要找a的序列规律，目前n的^k次方可以找到a的序列规律

∫p（x）dx=[G（ax+c）-G（ax-a+c）]

a，c为常数，a为正整数，0<c<1

以设置a为常数1如果可以转化为连续积分，就已解决问题

如果不能转化为连续积分，a取大于1的整数，为什么么取大于1的整数，因为是一个映射关系，将x映射到ax+c上，但是a不等于1时，映射的积分不能求和

所以设数列an通过积分得到f（n）=[G（ax+c））-G（ax-1+c）]，0<c<1，

要求

这里只得到一个级数，无法求出来，但这个级数又是a倍长度的一个单位区间，因为这所有的区间连起来的和是已知的，所以可以看其他的区间与这个区间的联系，如果知道联系式，就可以求出这个单位区间的值

其他的单位区间值

[G（ax+c）-G（ax-1+c）

G（ax-1+c）-G（ax-2+c）

 

G（ax-a+1+c）-G（ax-a+c）

如果能知道这个数列的关系式，就可以根据

[G（ax+c）-G（ax-1+c））推出

 

G（ax-1+c）-G（ax-2+c）

G（ax-2+c）-G（ax-3+c）

G（ax-a+1+c）-G（ax-a+c）

 

.....

 

数列b1(x)为G（ax+c）-G（ax-1+c）， G（a（x-1）+c））-G（a（x-2）+ c） .....

数列b2(x)为G（ax-1+c）-G（ax-1+c）， G（a（x-1）-1+c））-G（a（x-2）-1 + c） .....

数列ba(x)为G（ax-a+1+c）-G（a(x-1)+1+c）， G（a（x-1）+1+c））-G（a（x-2）+1 + c） .....

 

 

将∫p（x）dx=数列b1（x），b2（x）....ba（x）的总和

f（n）= 数列b1（x）的和，

所以我们要知道数列b2（x），b3（x），ba（x）的总和，就能求出f(n)的和

怎么求数列b2（x），b3（x），ba（x）的总和

当数列b2（x），b3（x），ba（x）的总和可以表示成kb1（x）和序列f2（n）的和，令f（n）=f2（n）重复上述方法，循环可以一直知道求出ft（n）的和可求出，反推出f1（n）次方

 

云强猜想，对于哪些满足条件的函数，离散积分是可行的，a的序列选择有什么规律，迭代次数和函数有什么关系

高级猜想，有没有离散积分的公式，比如n^k之和有公式，就是原函数，根据n的次方求和公式的次方之和，n的k次方选择当前序列a的应该是k，其他初等函数有公式吗，当前序列a的选择是怎样的，离散积分初等函数的乘法的公式，除法的公式等等是怎么推导

这个是求和公式，是上一篇孪生素数提到的，利用柯西中值定理累加可以求一个大概范围

不过F（n-1）-F（0）<

∫f（n）dn

<F（n+2）-F（2），

 

离散积分法二，一定能行，但是复杂度是o（1），但是需要构造法

假设g（x）的原函数是G（x），

那么g（x），当x取定值时，从u（x）到u（x+1）的积分就可以写作一下形式

∫g（x）dx=G（x）|u（x+1）-u（x）

现在令考虑x-1

同理那么g（x-1），当x取定值时，从u（x-1）到u（x）的积分就可以写作一下形式

∫g（x-1）dx=G（x）|u（x）-u（x-1）

假设f（n）可以用连续函数g（n）

假设∫f（n）dn=∫g（n）dn

 

G（u（n））-G（u（n-1））=f（n）

希望通过构造法来构造G，u，一步到位

后面经过思考已经推出明确的公式

离散积分法三

本来公式推对了，后面又脑抽改了，现在改回来了

 

验证1²+2²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6

验证g(n)=n(n+1)(2n+1)/6

证明得到