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最新推荐文章于 2019-09-21 21:11:55 发布

luer9

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分类专栏：迷之数论逆元

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逆元

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本文探讨了度度熊如何解决一个数学游戏问题，即在2行N列的格子中放置1到2N的数字，使得每行每列都递增。文章详细解释了使用卡特兰数及其计算公式来快速找到解决方案数量的方法，并通过逆元技巧解决了大数运算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　度度熊最近很喜欢玩游戏。这一天他在纸上画了一个2行N列的长方形格子。他想把1到2N这些数依次放进去，但是为了使格子看起来优美，他想找到使每行每列都递增的方案。不过画了很久，他发现方案数实在是太多了。度度熊想知道，有多少种放数字的方法能满足上面的条件？

Input

　　第一行为数据组数T(1<=T<=100000)。
　　然后T行，每行为一个数N(1<=N<=1000000)表示长方形的大小。

Output

　　对于每组数据，输出符合题意的方案数。由于数字可能非常大，你只需要把最后的结果对1000000007取模即可。

Sample Input

2
1
3

Sample Output

Case #1:
1
Case #2:
5

Hint

对于第二组样例，共5种方案，具体方案为：

卡特兰数

公式：Cn=Cn-1 * ((4*n-2)/(n+1))（不止这一个）

数太大。结合逆元

为什么要利用逆元呢？

在MOD的情况下，（a*b/c ) %MOD 不能直接 / c 来求，需要找到一个数 inv 使得 inv * c % MOD = 1 。这样 (a*b / c) % MOD = (a * b * inv) % MOD;

然后套用公式，

/*
Cn=Cn-1 * ((4*n-2)/(n+1))
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
ll ans[maxn],t;
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{//扩展欧几里得
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
int mod_inverse(int a,int m)
{
    int x,y;
    ex_gcd(a,m,x,y);
    return (x%m+m)%m;
    //如果直接求出来是一个负数，那么显然我们要把他转化成正数
}
void get_catalan()
{
    ans[0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
    {
        ans[i]=((4*i-2)*ans[i-1])%mod*mod_inverse(i+1,mod)%mod;
    }
}
int main()
{
    get_catalan();
    int cnt=0;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cnt++;
        int n;
        cin>>n;
        cout<<"Case #"<<cnt<<":"<<endl;
        cout<<ans[n]<<endl;
    }return 0;
}