CSP-S2考前综合强化刷题 杂题选做

POI2013 MOR-Tales of seafaring

给 $n$ 个点 $m$ 条边无向图，边权均为 $1$，每次询问两个点之间是否有长度为 $d$ 的路径，可以不是简单路径。

因为你可重复经过一个点，所以你可以让一个距离无限加 $2$ 也就是在不改变奇偶性的前提下无限增大。这样我们跑最短路，对于每个点我们接纳第一个偶数最短路和奇数最短路，预处理任意两点这样的两个不同奇偶性的最短路径。询问的时候，看看与它奇偶性相同的最短路径长度是不是比它短即可。

Problem 22

1. 现在我们要选出一些不相交的线段，让它们的价值最高。我们把右端点相等的操作放在一起，那么设 $f_i$ 是种了右端点为 $i$ 的地能获得的最大价值，枚举一下以 $i$ 为右端点的，这些东西我们只能选一个。那么转移为

$$f_i=\underset{1\le i\le k}{\max }(s_{r_i}-s_{l_i-1}+p_i+\underset{1<i}{\max }{f}_i)$$

外面的 $\max$ 暴力一下，里面的 $\max$ 维护一下前缀最大值。

2. 这意味着一块地你开垦一次就可以了，那么 dp 也不知道哪些土地被开垦了。那么先随便限制一个东西大小，就按左端点从小到大排序，状态还是 $f_i$ 是种的最靠右的土地为 $i$ 的最大价值，那么枚举一下转移，也不知道转移哪个点是吧那就讨论一下，假设要转移到 $f_j$，也就不包含、部分包含、完全包含三个情况。因为你限制了左端点，所以你只要看看 $j$ 与 $l_i$ 和 $r_i$ 之间的关系，它可能转移到 $j$，也可能在 $j<i$ 时转移到 $i$，所以用一棵区间加和区间取 min 值的线段树即可。

魔术师

考虑前缀和，区间 $[l,r]$ 总数的奇偶性相当于问你 $s_{l-1}$ 和 $s_r$ 的奇偶性是否相同，那么可以在 $l$ 和 $r$ 之间连一条边，如果一个联通块中有一个点我们知道了，那么就全知道了。现在确定了 $su{m}_0=0$，那么我们求一个将全部点连起来最小生成树即可秒啊。

运输计划

有带边权的树，有 $k$ 条路径，告诉你它们的起点终点，求允许把一条边边权改为 $0$，最小化最长的路径的长度。

先二分，问题转换成了把一条边改成 $0$ 的前提下能否所有路径的长 $<mid$，然后你找出不合法的路径，用树上差分和求它们的交删掉边权最大的边再看看合不合法。

Problem 20

这个东西随便做吧，只不过方案数不好求，那么我们按每个人按能力排序，当你转移到不得不选队长时再选，这样不会算重了。

BZOJ 3306

给你一棵大小为 $n$ 的有根有点权树支持换根、修改点权、查询子树最小值。

拓扑排序

• 求字典序最小的拓扑序

与顺序无关，优先队列

• 从 DAG 上一个点出发的路径条数

按照倒着的拓扑序进行 dp

• 求拓扑图上 $S\to T$ 的必经边

先求出 $S$ 到每个点的路径条数 $f$ 和每个点到 $T$ 的路径条数 $g$。如果一条边 $(x,y)$ 满足 $f_x\times g_y=f_t$ 那么是必经。

• 秒啊

跑一下 DAG 最短路，容易求可以在 $S_1\to T_1$ 的最短路上的边和在 $S_2\to T_2$ 最短路上的边，那么这些边的交集构成了最多两个拓扑图，求一下 DAG 最长路即可。

贪心乱搞

求有向图尽量长的简单路径，可以不是最长，保证存在哈密顿回路。

$1\le n\le 10^5$。

Bubble Cup 13 - Finals [Online Mirror, unrated, Div. 2]

写了 G 和 J 两道大水题，还把 M 丢给 ljh 大佬了，菜死了。

• G Years

下标较大的区间覆盖问题，对区间离散化在差分覆盖，并记录对应回去的编号

int n = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	a[i].l = read(), a[i].r = read(); a[i].r--;
	d[++cnt] = a[i].l, d[++cnt] = a[i].r+1;
}
sort(d + 1, d + cnt + 1);
int num = 0;
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
	if (d[i] == d[i - 1]) continue;
	mp[d[i]] = ++num, rev[num] = d[i];
}

• J Lonely Numbers

给你 $n$ 个数 $1\sim n$，求有多少个数是孤独的。一个 $a$ 是孤独的当且仅当不存在 $b\in [1,n]$ 使得 $\gcd (a,b),\frac{a}{\gcd (a,b)},\frac{b}{\gcd (a,b)}$ 能构成三角形。

假设 $a<b$

• $a|b$ 三条边为 $1,a,\frac{b}{a}$ 易知 $1\le a$

  • $a=\frac{b}{a}$ 即 $a^2=b$ 满足$1+a>a$
  • $a\ne \frac{b}{a}$ 显然 $|a-\frac{b}{a}|\ge 1$ 不满足

• $\gcd (a,b)=1$三条边为 $1,a,b$ 而 $a\ne b$ 所以不可能构成三角形。

• $\gcd (a,b)\ne 1$ 且 $a\nmid b$ 即为 $a,b\notin \mathbb{P}$ 令 $d=\gcd (a,b)$ 易知 $\frac{a}{d}<\frac{b}{d}$

  • $d+\frac{b}{d}-\frac{a}{d}=d+\frac{b-a}{d}\ge 2\sqrt{b-a}>0$
  • $\frac{b}{d}+\frac{a}{d}-d=\frac{a+b-d^2}{d}$ 有 $d\le \sqrt{a}$ 所以 $\frac{a+b-2\times a}{d}>0$

综上，答案为 $f(n)-f(\lfloor \sqrt{n}\rfloor )+1$。其中 $f_n$ 为 $[1,n]$ 内质数的个数。线性筛一下就可以 $O(1)$ 回答询问了。

• M Ancient Language

CF510C Fox And Names 这个题和 M 差不多吧，就是拓扑排序一下子了，复杂度瓶颈在于输入，卡常差评。

CF1239B The World Is Just a Programming Task

给你一个括号组成的序列（不一定是合法的括号序列）。

你要任意交换 $2$ 个位置，使得得到的序列有尽量多的循环移位，使得移位后序列是合法的括号序列。

我们先循环移位让它变成一个合法括号序列，因为两次循环移位可以通过一次循环移位搞定。还是老套路，建个折线图把左括号看成上升右括号看成下降。

如果我们交换了两个括号呢，假设它构成了一个低谷，那么交换了还不如不交换的，那么我们交换一定想让它多几个低谷。而一次交换要让一段的纵坐标向下平移一个单位，那么我们找到一个左括号一个右括号交换一下，使得中间出现的低谷尽可能多，也就是中间的 $2$ 尽可能多。

CF1120F Secret Letters

这个性质神仙啊，你考虑在正确答案中某一位你寄存了，你啥时候让令一个人取走了，假设你在 $t$ 的时间让它取走了，那么你之间还不如交替取，也就是你帮我我帮他去取，这样最多也在 $t$ 取走，那就枚举从哪个地方开始就行了。

二分经典题

• 求序列第 k 大和子序列 / 子段

dp 乱入，因为序列的顺序是没关系的，所以排个序，搞个状态 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数和为 $j$ 然后转移上 $k$ 次，转移次数很少的话可以存有用状态。子段的话，直接暴力 dp 或求出所有的子段冲。

• 求字符串第 $k$ 小字典序的子串

优先队列乱入，虽然好多人写的 SAM。这个你就将一个个字符插进去，每次取出字典序最小的，加上在它后面的字符做 $k$ 次就行。

• 求字符串第 $k$ 小字典序的子串

SAM 乱入，TJOI2015 弦论直接冲。

• 

$n\le 1000$ 拿出所有的子串排个序，二分一下答案用 dp check。设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个划分成了 $j$ 段，然后接下来新划分的串要大于你的二分那个串。

• 区间 gcd 和

线段树或 ST 表维护区间 gcd，每个点为右端点，二分向左找有多少段不同的 gcd，我们知道长 $n$ 的序列最多有 $\log n$ 个不同的 gcd，所以带两个 $\log$。

经典题

给定序列 $a$，每次操作 $(a_{i-1},a_i,a_{i+1})\to (a_{i-1}+a_i,-a_i,a_{i+1}+a_i)$，求序列 $a$ 能否到序列 $b$。

前缀和一下

x	y	z
x + y	-y		z + y

x	x + y	x + y + z
x + y	x	x + y + z

屑题。