20ZR 普及普专题提高联测部分题目

最新推荐文章于 2022-12-17 02:04:14 发布

ylxmf2005

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分类专栏： 20ZR膜你赛

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这篇博客探讨了与树形结构相关的算法问题，包括排列的约束条件求解、树上行走的最优化策略以及有根树的覆盖问题。通过矩阵加速斐波那契数列解决排列问题，利用最长链策略解决行走问题，并分析了覆盖问题的期望操作次数。文章深入浅出地讲解了如何运用数学和算法技巧解决这些复杂问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

排列

请问有多少个长度为 $n$ 的排列 $P$ 满足 $|i-P_i|\leq1$ ，答案对 $998244353$ 取模。

考虑第 $i$ 个位置只有填 $i$ 或 $i - 1$ ，所以矩阵加速求斐波那契数列。

游走

给定一棵 $n$ 个点的树，结点为 $\sim n$ 。你在这棵树上游走，每一步可以走到和
你目前所在的点直接相连的点。请问你从 $1$ 号点出发移动 $m$ 步最多可以经过多
少个不同的节点？（重复经过只算一次）

显然我们走 $n$ 点再回到出发点，那么需要 $2 n$ 次，那么最长的链我们先走，如果可以的话就好，不行的花那么就把最长的链放最后走。

for (int i = 1; i <= n; i++) maxn = max(maxn, dep[i]);
	if (maxn >= m) printf("%d\n", m + 1);
	else if (maxn + 2 * (n - maxn - 1) <= m) printf("%d\n", n);
	else printf("%d\n", maxn + (m - maxn) / 2 + 1);

覆盖

给定一棵 $n$ 个点的有根树，节点编号为 $\sim n$ ，根节点为 $1$ 。你会不停地重复以下操作，直到所有点被覆盖为止：等概率随机树上的一个未被覆盖的点，并覆盖这个点到根路径上的所有点。请问你的期望操作次数是多少？为了避免高精度运算，你只需要输出答案对 $998244353$ 取模后的结果。