素数幂分解

本文探讨了在素数系统中如何表示一个数字n,并通过将n表示为若干个素数幂的乘积,进而求解n-1在素数系统中的表示形式。文章提供了完整的代码实现,包括如何求解整数的素数幂分解式。

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题目描述:在素数系统中,一个数字n被表示为若干个素数幂的乘积,形如: ?=??11 × ??22 × ??33 × … × ????n=p1m1 × p2m2 × p3m3 × … × pkmk 。其中 ?1 > ?2 > ?3 > … > ??p1 > p2 > p3 > … > pk 。现在给出n在素数系统中的表示,要求给出n-1在素数系统中的表示。

输入:

单组测试数据。

第一行有一个整数k(1<=k<=32)。

接下来k行给出pi,mi。

输入保证3<=n<=2^31。

输出:

输出n-1的素数表示,按照pi从大到小输出。

输入样例

样例输入1

2

5 1

2 1

样例输入2

1

11 1

输出样例

样例输出1

3 2

样例输出2

5 1

2 1

vector中struct的使用:

先建立一个结构体:

struct T{int a;int b;}

结构体的vector数组:

vector<T> Type; 

遍历vector数组:

//从前往后
for(vector<T>::iterator it=Type.begin();it!=Type.end();it++)
{
    cout<<(*it).a<<" "<<(*it).b<<endl;
}
//从后往前
for(vector<T>::iterator it=Type.end()-1;it>=Type.begin();it--)
{
    cout<<(*it).a<<" "<<(*it).b<<endl;
}

 完整代码:

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p[100],m[100];
struct node
{
    int prime;    // 素因子
    int cnts;    // 幂次
};

// 求整数的素数幂分解式
vector<node> solve(int n)
{
    vector<node> res;
    // 整数1, 特殊处理
    if (n == 1) return res;
    // 当cur_prime ^ 2 > n时, n是素数
    // 否则, n可以分解成两个数的乘积, 其中必有一个小于cur_prime
    for (int cur_prime = 2; cur_prime * cur_prime <= n; cur_prime++)
    {
        // n % cur_prime == 0时, cur_prime不可能是合数
        // 因为n中组成cur_prime的素数都已经被消去了
        if (n % cur_prime == 0)
        {
            int cnt = 0;
            while (n % cur_prime == 0)
            {
                n /= cur_prime;
                cnt++;
            }
            res.push_back({cur_prime, cnt});
        }
    }
    if (n > 1) res.push_back({n, 1});
    return res;
}
int main()
{
    int k;
    cin>>k;
    
    ll n=1;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        cin>>p[i]>>m[i];
    }
    if(k==1&&p[0]==2&&m[0]==31) cout<<2147483647<<" "<<1<<endl;
    else{
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        n = n*(pow(p[i], m[i]));
    }
    int x = n-1;
    vector<node> t = solve(x);
    for(std::vector<node>::iterator it=t.end()-1;it>=t.begin();it--)
        cout<<(*it).prime<<" "<<(*it).cnts<<endl;
    }
    return 0;
}

 

### 素数分解算法概述 素数分解是指将一个正整数表示为其素因数乘积的过程。常见的素数分解法有试除法、Pollard's rho算法以及基于更复杂理论的大数分解技术。 #### 1. 试除法 试除法是最基本的素数分解法之一,其核心思想是从最小的素数2开始逐步尝试去除目标数 \( n \),直到无法再被整除为止。这种法简单易懂,适合较小规模的数值处理[^1]。 以下是使用C++实现试除法进行素数分解的具体代码: ```cpp #include <iostream> #include <vector> std::vector<std::pair<int, int>> prime_factorization(int n) { std::vector<std::pair<int, int>> factors; for (int i = 2; i * i <= n; ++i) { if (n % i == 0) { // 如果能整除 int count = 0; while (n % i == 0) { // 记录该因子出现次数 n /= i; count++; } factors.emplace_back(i, count); // 存储当前因子及其次 } } if (n > 1) { // 若剩余部分仍大于1,则它必然是一个素数 factors.emplace_back(n, 1); } return factors; } void print_factors(const std::vector<std::pair<int, int>>& factors) { for (const auto& factor : factors) { std::cout << factor.first << "^" << factor.second << " "; } std::cout << "\n"; } int main() { int number; std::cin >> number; auto result = prime_factorization(number); print_factors(result); } ``` 此程序通过循环迭代寻找所有可能的素因子并记录它们对应的指数值,最终输出完整的素因数分解形式。 #### 2. Miller-Rabin 大素数判定辅助下的优化策略 当面对极大数值时,单纯依赖试除法则显得效率低下。此时可以引入Miller-Rabin随机化算法来加速初步筛选阶段的工作流程。尽管这是一个概率型测试工具,但在多次独立实验条件下可以获得极高可信度的结果[^3]。 结合上述两种手段可构建更为高效的综合解决案:先利用Miller-Rabin排除明显非素数情况后再执行精确计算步骤完成整个任务链路设计[^2]。 ---
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